n {\displaystyle n} 立方数指可以写成 n 3 {\displaystyle n^{3}} 的数,当中 n {\displaystyle n} 必为整数。立方数是边长 n {\displaystyle n} 的立方体的体积。作为算术用语的“立方”,表示任何数 n {\displaystyle n} 的三次幂,可用³(Unicode字元179)来表示。

和平方数不同,立方数可存在负数。

若将立方数概念扩展到有理数,则两个立方数的比仍然是立方数,例如, (2 ×2× 2) / (3 ×3× 3) = 8/27 = 2/3×2/3×2/3。

若一个整数没有除了 1 之外的立方数为其因数,则称其为无立方数因数的数。

首十二个立方数 A000578为:1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728 ...(第零个是0)

虽然形状不同,每个立方数第 n {\displaystyle n} 个立方数同时都是第 n {\displaystyle n} 六角锥数,即首 n {\displaystyle n} 个中心六边形数之和。

立方数和

n {\displaystyle n} 个正立方数之和为 [ n ( n + 1 ) 2 ] 2 {\displaystyle \left[{\frac {n(n+1)}{2}}\right]^{2}} ,即第 n {\displaystyle n} 个三角形数的平方

每个整数均可表示成9个或以下的正立方数之和。(华林问题)

1939年,狄克森证明只有23和239需要用9个正立方数的和来表示。

亚瑟·韦伊费列治证明只有15个整数须用8个:15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454 ( A018889

的士数和士的数都指最小能表示成两个立方数之和的数,但的士数的必须为正数,士的数则无此限。(见1729)

只有一组连续三个立方数之和亦是立方数,就是3, 4, 5的立方,其和等于6的立方。

在十进制,除了1之外,仅有4个的正整数其数字立方之和等同它本身,它们为153, 370, 371, 407,他们是 n = 3 {\displaystyle n=3} 的自恋数。这4个三位数,亦可视为将它的数字分成三份,每份的立方之和,相似性质的整数有无限个,如165033, 221859, 336700等( A056733)。

性质

涉及立方数和的问题

x 3 + y 3 + z 3 = k {\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=k} 的整数解

主条目:三立方数和
  1. 方程 x 3 + y 3 + z 3 = 3 {\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=3} 除了有4组解 ( 1 , 1 , 1 ) , ( 4 , 4 , 5 ) , ( 4 , 5 , 4 ) , ( 5 , 4 , 4 ) {\displaystyle (1,1,1),(4,4,-5),(4,-5,4),(-5,4,4)} 以外,是否还有其它整数解?
  2. 方程 x 3 + y 3 + z 3 = 33 {\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=33} 有整数解 ( 8866128975287528 , 8778405442862239 , 2736111468807040 ) {\displaystyle (8866128975287528,-8778405442862239,-2736111468807040)} [1]
  3. 方程 x 3 + y 3 + z 3 = 42 {\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=42} 有整数解 ( 80538738812075974 , 80435758145817515 , 12602123297335631 ) {\displaystyle (-80538738812075974,80435758145817515,12602123297335631)} [2]
  4. 方程 x 3 + y 3 + z 3 = 114 {\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=114} 是否有整数解?

其他

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