各种各样的数
基本

N Z Q R C {\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }

正数 R + {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}
自然数 N {\displaystyle \mathbb {N} }
正整数 Z + {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}
小数
有限小数
无限小数
循环小数
有理数 Q {\displaystyle \mathbb {Q} }
代数数 A {\displaystyle \mathbb {A} }
实数 R {\displaystyle \mathbb {R} }
复数 C {\displaystyle \mathbb {C} }
高斯整数 Z [ i ] {\displaystyle \mathbb {Z} [i]}

负数 R {\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}
整数 Z {\displaystyle \mathbb {Z} }
负整数 Z {\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}
分数
单位分数
二进分数
规矩数
无理数
超越数
虚数 I {\displaystyle \mathbb {I} }
二次无理数
艾森斯坦整数 Z [ ω ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}

延伸

二元数
四元数 H {\displaystyle \mathbb {H} }
八元数 O {\displaystyle \mathbb {O} }
十六元数 S {\displaystyle \mathbb {S} }
超实数 R {\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }
大实数
上超实数

双曲复数
双复数
复四元数
共四元数英语Dual quaternion
超复数
超数
超现实数

其他

质数 P {\displaystyle \mathbb {P} }
可计算数
基数
阿列夫数
同余
整数数列
公称值

规矩数
可定义数
序数
超限数
p进数
数学常数

圆周率 π = 3.141592653 {\displaystyle \pi =3.141592653\dots }
自然对数的底 e = 2.718281828 {\displaystyle e=2.718281828\dots }
虚数单位 i = 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}}
无穷大 {\displaystyle \infty }

无理数是指除有理数以外的实数,当中的“理”字来自于拉丁语的rationalis,意思是“理解”,实际是拉丁文对于logos“说明”的翻译,是指无法用两个整数的比来说明一个无理数。

非有理数之实数,不能写作两整数之比。若将它写成小数形式,小数点之后的数字有无限多个,并且不会循环,即无限不循环小数(任何有限或无限循环小数可被表示称两个整数的比)。常见的无理数有大部分的平方根、π和e(其中后两者同时为超越数)等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。

传说中,无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现。他以几何方法证明 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 无法用整数及分数表示。而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示,不相信无理数的存在。后来希伯斯触犯学派章程,将无理数透露给外人,因而被扔进海中处死,其罪名竟然等同于“渎神”。另见第一次数学危机。

无理数可以通过有理数的分划的概念进行定义。

举例

  1. 3 = 1.73205080 {\displaystyle {\sqrt {3}}=1.73205080\cdots }
  1. log 10 3 = 0.47712125 {\displaystyle \log _{10}3=0.47712125\cdots }
  1. π = 3.141592653589793238462643383279502884 {\displaystyle \pi =3.141592653589793238462643383279502884\cdots }
  1. e = 2.71828182845904523536 {\displaystyle e=2.71828182845904523536\cdots }
  1. sin 45 = 2 2 = 0.70710678 {\displaystyle \sin {45^{\circ }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}=0.70710678\cdots }

性质

不知是否是无理数的数

π + e {\displaystyle \pi +e\,} π e {\displaystyle \pi -e\,} 等,事实上,对于任何非零整数 m {\displaystyle m\,} n {\displaystyle n\,} ,不知道 m π + n e {\displaystyle m\pi +ne\,} 是否无理数。

无理数与无理数的四则运算的结果往往不知道是否无理数,只有 π + ( π ) {\displaystyle \pi +(-\pi )} 2 + 3 {\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}} 等除外。

我们亦不知道 2 e {\displaystyle 2^{e}\,} π e {\displaystyle \pi ^{e}\,} π 2 {\displaystyle \pi ^{\sqrt {2}}} 、欧拉-马歇罗尼常数 γ {\displaystyle \gamma \,} 或卡塔兰常数 G {\displaystyle G} 是否无理数。

无理数集的特性

无理数集是不可数集(因有理数集是可数集而实数集是不可数集)。无理数集是个不完备的拓扑空间,它是与所有正数数列的集拓扑同构的,当中的同构映射是无理数的连分数开展。因而贝尔纲定理可以应用在无数间的拓扑空间上。

无理化作连分数的表达式

x 2 = c ( c > 0 ) {\displaystyle x^{2}=c\qquad (c>0)}

选取一个正的实数 ρ {\displaystyle \rho \,} 使得

ρ 2 < c {\displaystyle \rho ^{2}<c\!}

经由递回处理

x 2   ρ 2 = c   ρ 2 ( x   ρ ) ( x   + ρ ) = c   ρ 2 x   ρ = c   ρ 2 ρ   + x x = ρ   + c   ρ 2 ρ   + x = ρ   + c   ρ 2 ρ   + ( ρ   + c   ρ 2 ρ   + x ) = ρ   + c   ρ 2 2 ρ   + c   ρ 2 2 ρ   + c   ρ 2 = c {\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}\ -\!\rho ^{2}&=c\ -\!\rho ^{2}\\(x\ -\!\rho )(x\ +\!\rho )&=c\ -\!\rho ^{2}\\x\ -\!\rho &={\frac {c\ -\!\rho ^{2}}{\rho \ +\!x}}\\x&=\rho \ +\!{\frac {c\ -\!\rho ^{2}}{\rho \ +\!x}}\\&=\rho \ +\!{\cfrac {c\ -\!\rho ^{2}}{\rho \ +\!\left(\rho \ +\!{\cfrac {c\ -\!\rho ^{2}}{\rho \ +\!x}}\right)}}\\&=\rho \ +\!{\cfrac {c\ -\!\rho ^{2}}{2\rho \ +\!{\cfrac {c\ -\!\rho ^{2}}{2\rho \ +\!{\cfrac {c\ -\!\rho ^{2}}{\ddots \,}}}}}}={\sqrt {c}}\,\end{aligned}}}

一些无理数的证明

证明 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 是无理数

证:


假设 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 是有理数,并且令 2 = p q {\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {p}{q}}} p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}} 是最简分数。

两边平方,得到 2 = p 2 q 2 {\displaystyle 2={\frac {p^{2}}{q^{2}}}} 。将此式改写为 2 q 2 = p 2 {\displaystyle 2q^{2}=p^{2}} ,可见 p 2 {\displaystyle p^{2}} 为偶数。

因为平方运算保持奇偶性,所以 p {\displaystyle p} 只能为偶数。设 p = 2 p 1 {\displaystyle p=2p_{1}} ,其中 p 1 {\displaystyle p_{1}} 为整数。

代入可得 q 2 = 2 p 1 2 {\displaystyle q^{2}=2p_{1}^{2}} 。同理可得 q {\displaystyle q} 亦为偶数。

这与 p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}} 为最简分数的假设矛盾,所以 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 是有理数的假设不成立。

证明 2 + 3 {\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}} 是无理数

证:

假设 2 + 3 = p {\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}=p} 是有理数,两边平方得到

5 + 2 6 = p 2 6 = p 2 5 2 {\displaystyle 5+2{\sqrt {6}}=p^{2}\Rightarrow {\sqrt {6}}={\frac {p^{2}-5}{2}}}

其中因为 p {\displaystyle p} 是有理数,所以 p 2 5 2 {\displaystyle {\frac {p^{2}-5}{2}}} 也是有理数。

透过证明 a {\displaystyle {\sqrt {a}}} 为无理数的方法,其中 a {\displaystyle {a}} 为一非完全平方数

可以证明 6 {\displaystyle {\sqrt {6}}} 是无理数

同样也推出 p 2 5 2 {\displaystyle {\frac {p^{2}-5}{2}}} 是无理数

但这又和 p 2 5 2 {\displaystyle {\frac {p^{2}-5}{2}}} 是有理数互相矛盾

所以 2 + 3 {\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}} 是一无理数

证明 2 + 3 + 5 {\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}} 是无理数

证:

同样,假设 2 + 3 + 5 = p {\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}=p} 是有理数,两边平方后得到

10 + 2 6 + 2 10 + 2 15 = p 2 6 + 10 + 15 = p 2 10 2 {\displaystyle 10+2{\sqrt {6}}+2{\sqrt {10}}+2{\sqrt {15}}=p^{2}\Rightarrow {\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}={\frac {p^{2}-10}{2}}}

于是 6 + 10 + 15 {\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}} 是有理数。

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