在数学中,葛莱佘-金可林常数葛莱佘常数,通常表示为A,是一个数学常数,与K函数和伯恩斯G函数有关。常数出现在许多和和积分中,特别是涉及伽玛函数和泽他函数的那些。它以数学家詹姆士·惠特布里德·李·葛莱佘和赫尔曼·金可林的名字命名。

它的近似值是:

A 1.2824271291 {\displaystyle A\approx 1.2824271291\dots }   (OEIS中的数列A074962).

葛莱佘-金可林常数 A {\displaystyle A} 可以由极限:

A = lim n K ( n + 1 ) n n 2 / 2 + n / 2 + 1 / 12 e n 2 / 4 {\displaystyle A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {K(n+1)}{n^{n^{2}/2+n/2+1/12}e^{-n^{2}/4}}}} K ( n ) = k = 1 n 1 k k {\displaystyle K(n)=\prod _{k=1}^{n-1}k^{k}} 为K函数. 这个公式显示了A和π之间的相似性,这可能是斯特林公式的最佳说明:
2 π = lim n n ! e n n n + 1 2 {\displaystyle {\sqrt {2\pi }}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{e^{-n}n^{n+{\frac {1}{2}}}}}}

这表明正如π是从函数的近似得到的 k = 1 n k {\displaystyle \prod _{k=1}^{n}k} , A 也可以从与函数类似的近似值中获得 k = 1 n k k {\displaystyle \prod _{k=1}^{n}k^{k}} .
的等价定义涉及伯恩斯G函数,由下式给出 G ( n ) = k = 1 n 2 k ! = [ Γ ( n ) ] n 1 K ( n ) {\displaystyle G(n)=\prod _{k=1}^{n-2}k!={\frac {\left[\Gamma (n)\right]^{n-1}}{K(n)}}} Γ ( n ) {\displaystyle \Gamma (n)} 是伽玛函数为:

A = lim n ( 2 π ) n / 2 n n 2 / 2 1 / 12 e 3 n 2 / 4 + 1 / 12 G ( n + 1 ) {\displaystyle A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {(2\pi )^{n/2}n^{n^{2}/2-1/12}e^{-3n^{2}/4+1/12}}{G(n+1)}}} .

葛莱佘-金可林常数也出现在泽他函数的导数的评估中,例如:

ζ ( 1 ) = 1 12 ln A {\displaystyle \zeta ^{\prime }(-1)={\frac {1}{12}}-\ln A}
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