艾森斯坦整数是复平面上三角形点阵的交点。
各种各样的数
基本

N Z Q R C {\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }

正数 R + {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}
自然数 N {\displaystyle \mathbb {N} }
正整数 Z + {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}
小数
有限小数
无限小数
循环小数
有理数 Q {\displaystyle \mathbb {Q} }
代数数 A {\displaystyle \mathbb {A} }
实数 R {\displaystyle \mathbb {R} }
复数 C {\displaystyle \mathbb {C} }
高斯整数 Z [ i ] {\displaystyle \mathbb {Z} [i]}

负数 R {\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}
整数 Z {\displaystyle \mathbb {Z} }
负整数 Z {\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}
分数
单位分数
二进分数
规矩数
无理数
超越数
虚数 I {\displaystyle \mathbb {I} }
二次无理数
艾森斯坦整数 Z [ ω ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}

延伸

二元数
四元数 H {\displaystyle \mathbb {H} }
八元数 O {\displaystyle \mathbb {O} }
十六元数 S {\displaystyle \mathbb {S} }
超实数 R {\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }
大实数
上超实数

双曲复数
双复数
复四元数
共四元数英语Dual quaternion
超复数
超数
超现实数

其他

素数 P {\displaystyle \mathbb {P} }
可计算数
基数
阿列夫数
同余
整数数列
公称值

规矩数
可定义数
序数
超限数
p进数
数学常数

圆周率 π = 3.141592653 {\displaystyle \pi =3.141592653\dots }
自然对数的底 e = 2.718281828 {\displaystyle e=2.718281828\dots }
虚数单位 i = 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}}
无穷大 {\displaystyle \infty }

艾森斯坦整数是具有以下形式的复数:

z = a + b ω {\displaystyle z=a+b\omega \,\!}

其中ab是整数,且

ω = 1 2 ( 1 + i 3 ) = e 2 π i 3 {\displaystyle \omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{\frac {2\pi i}{3}}}

是三次单位根。艾森斯坦整数在复平面上形成了一个三角形点阵。高斯整数则形成了一个正方形点阵。

性质

艾森斯坦整数在代数数域Q(ω)中形成了一个代数数的交换环。每一个z = a + bω都是首一多项式

z 2 ( 2 a b ) z + ( a 2 a b + b 2 ) . {\displaystyle z^{2}-(2a-b)z+(a^{2}-ab+b^{2}).\,\!}

的根。特别地,ω满足以下方程:

ω 2 + ω + 1 = 0. {\displaystyle \omega ^{2}+\omega +1=0.\,\!}

因此,艾森斯坦整数是代数数。

艾森斯坦整数的范数是它的绝对值的平方,由以下的公式给出:

| a + b ω | 2 = a 2 a b + b 2 . {\displaystyle |a+b\omega |^{2}=a^{2}-ab+b^{2}.\,\!}

因此它总是整数。由于:

4 a 2 4 a b + 4 b 2 = ( 2 a b ) 2 + 3 b 2 , {\displaystyle 4a^{2}-4ab+4b^{2}=(2a-b)^{2}+3b^{2},\,\!}

因此非零艾森斯坦整数的范数总是正数。

艾森斯坦整数环中的可逆元群,是复平面中六次单位根所组成的循环群。它们是:

{±1, ±ω, ±ω}

它们是范数为一的艾森斯坦整数。

艾森斯坦素数

xy是艾森斯坦整数,如果存在某个艾森斯坦整数z,使得y = z x,则我们说x能整除y

它是整数的整除概念的延伸。因此我们也可以延伸素数的概念:一个非可逆元的艾森斯坦整数x是艾森斯坦素数,如果它唯一的因子是ux的形式,其中u是六次单位根的任何一个。

我们可以证明,任何一个被3除余1的素数都具有形式xxy+y,因此可以分解为(xy)(xy)。因为这样,它在艾森斯坦整数中不是素数。被3除余2的素数则不能分解为这种形式,因此它们也是艾森斯坦素数。

任何一个艾森斯坦整数a + bω,只要范数aab+b为素数,那么就是一个艾森斯坦素数。实际上,任何一个艾森斯坦整数要么就是这种形式,要么就是一个可逆元和一个被3除余2的素数的乘积。

欧几里德域

艾森斯坦整数环形成了一个欧几里德域,其范数N由以下的公式给出:

N ( a + b ω ) = a 2 a b + b 2 . {\displaystyle N(a+b\,\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.\,\!}

这是因为:

N ( a + b ω ) = | a + b ω | 2 = ( a + b ω ) ( a + b ω ¯ ) = a 2 + a b ( ω + ω ¯ ) + b 2 = a 2 a b + b 2 {\displaystyle {\begin{aligned}N(a+b\,\omega )&=|a+b\,\omega |^{2}\\&=(a+b\,\omega )(a+b\,{\bar {\omega }})\\&=a^{2}+ab(\omega +{\bar {\omega }})+b^{2}\\&=a^{2}-ab+b^{2}\end{aligned}}}
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