各种各样的数
基本

N Z Q R C {\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }

正数 R + {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}
自然数 N {\displaystyle \mathbb {N} }
正整数 Z + {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}
小数
有限小数
无限小数
循环小数
有理数 Q {\displaystyle \mathbb {Q} }
代数数 A {\displaystyle \mathbb {A} }
实数 R {\displaystyle \mathbb {R} }
复数 C {\displaystyle \mathbb {C} }
高斯整数 Z [ i ] {\displaystyle \mathbb {Z} [i]}

负数 R {\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}
整数 Z {\displaystyle \mathbb {Z} }
负整数 Z {\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}
分数
单位分数
二进分数
规矩数
无理数
超越数
虚数 I {\displaystyle \mathbb {I} }
二次无理数
艾森斯坦整数 Z [ ω ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}

延伸

二元数
四元数 H {\displaystyle \mathbb {H} }
八元数 O {\displaystyle \mathbb {O} }
十六元数 S {\displaystyle \mathbb {S} }
超实数 R {\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }
大实数
上超实数

双曲复数
双复数
复四元数
共四元数英语Dual quaternion
超复数
超数
超现实数

其他

质数 P {\displaystyle \mathbb {P} }
可计算数
基数
阿列夫数
同余
整数数列
公称值

规矩数
可定义数
序数
超限数
p进数
数学常数

圆周率 π = 3.141592653 {\displaystyle \pi =3.141592653\dots }
自然对数的底 e = 2.718281828 {\displaystyle e=2.718281828\dots }
虚数单位 i = 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}}
无穷大 {\displaystyle \infty }

双曲复数乘法表
×1j
11j
jj1

双曲复数(英语:hyperbolic numbersSplit-complex number),是异于复数而对实数所做的推广。

定义

考虑数 z = x + j y {\displaystyle z=x+jy} ,其中 x , y {\displaystyle x,y} 是实数,而量 j {\displaystyle j} 不是实数,但 j 2 {\displaystyle j^{2}} 是实数。

选取 j 2 = 1 {\displaystyle j^{2}=-1} ,得到一般复数。取 + 1 {\displaystyle +1} 的话,便得到双曲复数。

定义双曲复数的加法和乘法如下,使之符合交换律、结合律和分配律:

( x + j y ) + ( u + j v ) = ( x + u ) + j ( y + v ) {\displaystyle (x+jy)+(u+jv)=(x+u)+j(y+v)}
( x + j y ) ( u + j v ) = ( x + j y ) ( u ) + ( x + j y ) ( j v ) = x u + j y u + j x v + j 2 y v = ( x u + y v ) + j ( x v + y u ) {\displaystyle (x+jy)(u+jv)=(x+jy)(u)+(x+jy)(jv)=xu+jyu+jxv+j^{2}yv=(xu+yv)+j(xv+yu)}

共轭、范数

对于 z = x + j y {\displaystyle z=x+jy} ,其共轭值 z = x j y {\displaystyle z^{*}=x-jy} 。对于任何双曲复数 z , w {\displaystyle z,w}

( z + w ) = z + w {\displaystyle (z+w)^{*}=z^{*}+w^{*}}
( z w ) = z w {\displaystyle (zw)^{*}=z^{*}w^{*}}
( z ) = z {\displaystyle (z^{*})^{*}=z}

可见它是自同构的。

定义内积为 z , w = R e ( z w ) = R e ( z w ) = x u y v {\displaystyle \langle z,w\rangle =Re(zw^{*})=Re(zw^{*})=xu-yv} 。若 z , w = 0 {\displaystyle \langle z,w\rangle =0} ,说 z , w {\displaystyle z,w} (双曲)正交。

双曲复数的平方范数就取自己和自己的内积,即自身和其共轭值之乘积(闵可夫斯基范数):

z = z , z = z z = z z = x 2 y 2 {\displaystyle \lVert z\rVert =\langle z,z\rangle =zz^{*}=z^{*}z=x^{2}-y^{2}}

这个范数非正定,其Metric signature是(1,1)。它在乘法下不变: z w = z w {\displaystyle \lVert zw\rVert =\lVert z\rVert \lVert w\rVert }

除法

除了0之外,也不是每个双曲复数都有乘法逆元。

z 1 = 1 z = z z z = z z {\displaystyle z^{-1}={\frac {1}{z}}={\frac {z^{*}}{zz^{*}}}={\frac {z^{*}}{\lVert z\lVert }}}

由此可见,双曲复数可逆当且仅当其平方范数非零。其形式均为 k ( 1 ± j ) {\displaystyle k(1\pm j)} ,其中 k {\displaystyle k} 是实数。

双曲复数的幂等元有:

列方程 ( x + j y ) 2 = ( x 2 + y 2 ) + 2 x y j {\displaystyle (x+jy)^{2}=(x^{2}+y^{2})+2xyj} 。有四个解: 1 , 0 , s = ( 1 j ) / 2 , s = ( 1 + j ) / 2 {\displaystyle 1,0,s=(1-j)/2,s^{*}=(1+j)/2}

s和s^*都是不可逆的。它们可以作双曲复数的基。 z = x + j y = ( x y ) s + ( x + y ) s {\displaystyle z=x+jy=(x-y)s+(x+y)s^{*}}

若将 z = a e + b e {\displaystyle z=ae+be^{*}} 表示成 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} ,双曲复数的乘法可表示成 ( a , b ) ( c , d ) = ( a c , b d ) {\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac,bd)} 。因此,在这个基里,双曲复数的加法和乘法和直和R⊕R同构。

共轭可表示为 ( a , b ) = ( b , a ) {\displaystyle (a,b)^{*}=(b,a)} ,范数 ( a , b ) = a b {\displaystyle \lVert (a,b)\rVert =ab}

几何

有闵可夫斯基内积的二维实向量空间称为1+1闵可夫斯基空间,表示为R。正如欧几里得平面R的几何学可以复数表示,闵可夫斯基空间的几何学可以双曲复数表示。

R,对于非零的 a {\displaystyle a} ,点集 { z : z = a 2 } {\displaystyle \{z:\lVert z\lVert =a^{2}\}} 是双曲线。左边和右边的会经过 a {\displaystyle a} a {\displaystyle -a} a = 1 {\displaystyle a=1} 称为单位双曲线。

共轭双曲线是 { z : z = a 2 } {\displaystyle \{z:\lVert z\lVert =-a^{2}\}} ,会分别经过ja和-ja。双曲线和共轭双曲线会被成直角的两条渐近线 { z : z = 0 } {\displaystyle \{z:\lVert z\lVert =0\}} 分开。

欧拉公式的相应版本是 e j θ = cosh ( θ ) + j sinh ( θ ) {\displaystyle e^{j\theta }=\cosh(\theta )+j\sinh(\theta )}

历史

1848年James Cockle提出了Tessarines。1882年威廉·金顿·克利福德以双曲复数表示自旋和。

20世纪,双曲复数成为描述狭义相对论的劳仑兹变换的工具,因为不同参考系之间的速度变换可由双曲旋转表达。

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