群论
基本概念
子群 · 正规子群 · 商群
群同态
 · (半)直积 · 直和
单群 · 有限群 · 无限群
拓扑群 · 群概形 · 循环群
幂零群 · 可解群
离散群
有限单群分类
循环群 Zn
交错群 An
散在群
马蒂厄群 M11..12,M22..24
康威群 Co1..3
扬科群 J1..4
费歇尔群 F22..24
子怪兽群 B
怪兽群 M

其他有限群
对称群, Sn
二面体群, Dn
无限群
整数, Z
模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z)

连续群
李群
一般线性群 GL(n)
特殊线性群 SL(n)
正交群 O(n)
特殊正交群 SO(n)
酉群 U(n)
特殊酉群 SU(n)
辛群 Sp(n)

G2 F4E6 E7E8
劳仑兹群
庞加莱群

无限维群
共形群
微分同胚群

环路群
量子群
O(∞) SU(∞) Sp(∞)

代数群
椭圆曲线
线性代数群英语Linear algebraic group
阿贝尔簇英语Abelian variety

假设 ( G , ) {\displaystyle (G,*)} 是一个群,若 H {\displaystyle H} G {\displaystyle G} 的一个非空子集且同时 H {\displaystyle H} 与相同的二元运算 {\displaystyle *} 亦构成一个群,则 ( H , ) {\displaystyle (H,*)} 称为 ( G , ) {\displaystyle (G,*)} 的一个子群。参阅群论。

更精确地来说,若运算*在H的限制也是个在H上的群运算,则称HG的子群。

一个群G纯子群是指一个子群H,其为G的纯子集(即HG)。任一个群的当然群为只包含单位元的子群{e}。若HG的子群,则G有时会被称为H的“母群”。

相同的定义可以应用在更广义的范围内,当G为一任意的半群,但此一条目中只处理群的子群而已。群G有时会被标记成有序对(G,*),通常用以强调其运算*当G带有多重的代数或其他结构。

在下面的文章中,会使用省略掉*的常规,并将乘积a*b写成ab

子群的检验

给定一个群 ( G , ) {\displaystyle (G,*)} H {\displaystyle H} G {\displaystyle G} 的子群,则有 H {\displaystyle H} G {\displaystyle G} 的子群当且仅当 h , h H , h ( h ) 1 H {\displaystyle \forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H}

H {\displaystyle H} G {\displaystyle G} 的子群可表示为 H G {\displaystyle H\leq G} ,则以上表述可表示为

H G h , h H , h ( h ) 1 H {\displaystyle H\leq G\Longleftrightarrow \forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H}

证明:

( ) {\displaystyle (\Longrightarrow )}

因为 H G {\displaystyle H\leq G} ,对于任意 h H {\displaystyle h'\in H} h 1 H {\displaystyle \exists h'^{-1}\in H} ,另有 h H {\displaystyle h\in H} ,由于 H {\displaystyle H} 为一个群,所以 h h 1 H {\displaystyle h*h'^{-1}\in H}

( ) {\displaystyle (\Longleftarrow )}

假设 x H {\displaystyle \exists x\in H} ,令 h = h = x {\displaystyle h=h'=x} ,可得 h h 1 = x x 1 = e G H {\displaystyle h*h^{-1}=x*x^{-1}=e_{G}\in H} ,即 H {\displaystyle H} 存在单位元。

对于 x H {\displaystyle x\in H} ,令 h = e G {\displaystyle h=e_{G}} h = x {\displaystyle h'=x} ,可得 h h 1 = e G x 1 = x 1 H {\displaystyle h*h^{-1}=e_{G}*x^{-1}=x^{-1}\in H} ,即对于任意 x H {\displaystyle x\in H} ,存在 x 1 H {\displaystyle x^{-1}\in H}

对于 x , y H {\displaystyle x,y\in H} ,令 h = x {\displaystyle h=x} h = y 1 {\displaystyle h=y^{-1}} ,可得 h h 1 = x ( y 1 ) 1 = x y H {\displaystyle h*h^{-1}=x*(y^{-1})^{-1}=x*y\in H} ,即对于任意 x , y H {\displaystyle x,y\in H} x y H {\displaystyle x*y\in H}

因此 H G h , h H , h ( h ) 1 H {\displaystyle H\leq G\Longleftrightarrow \forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H} 成立。

子群的基本性质

例子

有限群

G = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } {\displaystyle G=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}} 和以8为模的加法为二元运算的群(此群亦同时是阿贝尔群)。其凯莱表为

+04261357
004261357
440625713
226403571
662047135
115372460
337514602
551736024
773150246

此凯莱表是故意不用常规的排列法来表明此群有着一对非当然子群: J = { 0 , 4 } {\displaystyle J=\{0,4\}} H = { 0 , 2 , 4 , 6 } {\displaystyle H=\{0,2,4,6\}} ,其中 J {\displaystyle J} 亦是 H {\displaystyle H} 的子群。 H {\displaystyle H} 的凯莱表是 G {\displaystyle G} 的凯莱表之左上半部。 G {\displaystyle G} 群是循环的,而其子群亦为。一般而言,循环群的子群亦为循环的。

陪集和拉格朗日定理

给定一子群HG内的某一元素a,则可定义出一个左陪集 aH={ah;hH}。因为a为可逆的,由φ(h) = ah给出之映射φ : HaH为一个双射。更甚地,每一个G内的元素都包含在恰好一个H的左陪集中;其左陪集为对应于一等价关系的等价类,其等价关系a1 ~ a2当且仅当a1a2会在H内。H的左陪集之数目称之为HG内的“指数”,并标记为[G:H]。

拉格朗日定理叙述著对一个有限群G和一个子群H而言,

[ G : H ] = o ( G ) o ( H ) {\displaystyle [G:H]={o(G) \over o(H)}}

其中o(G)和o(H)分别为GH的阶。特别地是,每一个G的子群的阶(和每一个G内元素的阶)都必须为o(G)的约数。右陪集为相类比之定义:Ha = {ha : hH}。其亦有对应于一适当之等价关系的等价类,且其个数亦会相等于[G:H]。

若对于每个在G内的aaH=Ha,则H称之为正规子群。每一个指数2的子群皆为正规的:左陪集和右陪集都简单地为此一子群和其补集。

另见

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