在数学中,二面体群 D 2 n {\displaystyle D_{2n}} 是正 n {\displaystyle n} 边形的对称群,具有 2 n {\displaystyle 2n} 个元素。某些书上则记为 D n {\displaystyle D_{n}} 。除了 n = 2 {\displaystyle n=2} 的情形外, D 2 n {\displaystyle D_{2n}} 都是非交换群。

生成元与关系

抽象言之,首先考虑 n {\displaystyle n} 阶循环群 C n {\displaystyle C_{n}} 。反射 τ : x x 1 {\displaystyle \tau :x\mapsto x^{-1}} C n {\displaystyle C_{n}} 上的自同构,而且 τ 2 = i d {\displaystyle \tau ^{2}={\rm {id}}} 。定义二面体群为半直积

D 2 n = C n { e , τ } {\displaystyle D_{2n}=C_{n}\rtimes \{e,\tau \}}

任取 C n {\displaystyle C_{n}} 的生成元 σ {\displaystyle \sigma } D 2 n {\displaystyle D_{2n}} σ , τ {\displaystyle \sigma ,\tau } 生成,其间的关系是

σ n = e , τ 2 = e , τ σ τ = σ 1 {\displaystyle \sigma ^{n}=e,\tau ^{2}=e,\tau \sigma \tau =\sigma ^{-1}\,}

D 2 n {\displaystyle D_{2n}} 的元素均可唯一地表成 σ k τ h {\displaystyle \sigma ^{k}\tau ^{h}} ,其中 0 k < n {\displaystyle 0\leq k<n} h = 0 , 1 {\displaystyle h=0,1\,}

几何诠释

n=5 的情形:反射对称 n=5 的情形:旋转对称

二面体群也可以诠释为二维正交群 O ( 2 ) {\displaystyle O(2)} 中由

σ := ( cos 2 π n sin 2 π n sin 2 π n cos 2 π n ) {\displaystyle \sigma :={\begin{pmatrix}\cos {2\pi \over n}&-\sin {2\pi \over n}\\\sin {2\pi \over n}&\cos {2\pi \over n}\end{pmatrix}}} (旋转 2 π n {\displaystyle {\frac {2\pi }{n}}} 弧度)
τ := ( 1 0 0 1 ) {\displaystyle \tau :={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}} (对 x 轴反射)

生成的子群。由此不难看出 D 2 n {\displaystyle D_{2n}} 是正 n 边形的对称群。

性质

σ k + ϵ n τ h ( σ k τ h , ϵ ) {\displaystyle \sigma ^{k+\epsilon n}\tau ^{h}\mapsto (\sigma ^{k}\tau ^{h},\epsilon )}

其中 h , ϵ = 0 , 1 {\displaystyle h,\epsilon =0,1} 0 k < n {\displaystyle 0\leq k<n}

表示

n {\displaystyle n} 为奇数时, D n {\displaystyle D_{n}} 有两个一维不可约表示:

τ ( 1 ) k , σ 1 ( k = 0 , 1 ) {\displaystyle \tau \mapsto (-1)^{k},\;\sigma \mapsto 1\quad (k=0,1)}

n {\displaystyle n} 为偶数时, D n {\displaystyle D_{n}} 有四个一维不可约表示:

e {\displaystyle e} σ {\displaystyle \sigma } σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} σ 3 {\displaystyle \sigma ^{3}} σ 4 {\displaystyle \sigma ^{4}} σ 5 {\displaystyle \sigma ^{5}} σ 6 {\displaystyle \sigma ^{6}} σ 7 {\displaystyle \sigma ^{7}} τ {\displaystyle \tau } σ τ {\displaystyle \sigma \tau } σ 2 τ {\displaystyle \sigma ^{2}\tau } σ 3 τ {\displaystyle \sigma ^{3}\tau } σ 4 τ {\displaystyle \sigma ^{4}\tau } σ 5 τ {\displaystyle \sigma ^{5}\tau } σ 6 τ {\displaystyle \sigma ^{6}\tau } σ 7 τ {\displaystyle \sigma ^{7}\tau } 正八边形的停车标志在 D 8 {\displaystyle D_{8}} 的群作用下的结果
τ ( 1 ) k , σ ( 1 ) h ( k , h = 0 , 1 ) {\displaystyle \tau \mapsto (-1)^{k},\sigma \mapsto (-1)^{h}\quad (k,h=0,1)}

其余不可约表示皆为二维,共有 n / 2 {\displaystyle \lfloor n/2\rfloor } 个,形如下式:

σ ( ω h 0 0 ω h ) τ ( 0 1 1 0 ) {\displaystyle \sigma \mapsto {\begin{pmatrix}\omega ^{h}&0\\0&\omega ^{-h}\end{pmatrix}}\;\tau \mapsto {\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}}

其中 ω {\displaystyle \omega } 是任一 n 次本原单位根, h {\displaystyle h} Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } 。由 h 1 , h 2 {\displaystyle h_{1},h_{2}} 给出的表示相等价当且仅当 h 1 + h 2 0 mod n {\displaystyle h_{1}+h_{2}\equiv 0\mod n}

文献

www.zuoweixin.com
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