各种各样的数
基本

N Z Q R C {\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }

正数 R + {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}
自然数 N {\displaystyle \mathbb {N} }
正整数 Z + {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}
小数
有限小数
无限小数
循环小数
有理数 Q {\displaystyle \mathbb {Q} }
代数数 A {\displaystyle \mathbb {A} }
实数 R {\displaystyle \mathbb {R} }
复数 C {\displaystyle \mathbb {C} }
高斯整数 Z [ i ] {\displaystyle \mathbb {Z} [i]}

负数 R {\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}
整数 Z {\displaystyle \mathbb {Z} }
负整数 Z {\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}
分数
单位分数
二进分数
规矩数
无理数
超越数
虚数 I {\displaystyle \mathbb {I} }
二次无理数
艾森斯坦整数 Z [ ω ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}

延伸

二元数
四元数 H {\displaystyle \mathbb {H} }
八元数 O {\displaystyle \mathbb {O} }
十六元数 S {\displaystyle \mathbb {S} }
超实数 R {\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }
大实数
上超实数

双曲复数
双复数
复四元数
共四元数英语Dual quaternion
超复数
超数
超现实数

其他

素数 P {\displaystyle \mathbb {P} }
可计算数
基数
阿列夫数
同余
整数数列
公称值

规矩数
可定义数
序数
超限数
p进数
数学常数

圆周率 π = 3.141592653 {\displaystyle \pi =3.141592653\dots }
自然对数的底 e = 2.718281828 {\displaystyle e=2.718281828\dots }
虚数单位 i = 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}}
无穷大 {\displaystyle \infty }

数学中,自然数一般指正整数 ( 1 , 2 , 3 , 4 , ) {\displaystyle (1,2,3,4,\ldots )} 。是 ISO 80000-2 标准中所采用的定义。

用于计数(如“桌子上有个苹果”)和定序(如“国内第大城市”)的数字。用于计数时称之为基数,用于定序时称之为序数。

(在数论中,非零自然数正整数 ( 1 , 2 , 3 , 4 , ) {\displaystyle (1,2,3,4,\ldots )}

数学家一般以 N {\displaystyle \mathbb {N} } 代表以自然数组成的集合。自然数集是一个可数的,无上界的无穷集合。

历史与0的争议

自然数由数数而起。古希腊人最早研究其抽象特性,当中毕达哥拉斯主义更视之为宇宙之基本。其它古文明也对其研究作出极大贡献,尤其以印度对0的接受,为人称道。

零早于公元前400年被巴比伦人用作数码使用。玛雅人于公元200年将零视为数字,但未与其它文明有所交流。现代的观念由印度学者婆罗摩笈多于公元628年提出,经阿拉伯人传至欧洲。欧洲人一开始仍对零作为数字感到抗拒,认为零不是一个“自然”数。

19世纪末,集合论者给自然数一个较严谨的定义。据此定义,把零(对应于空集)包括于自然数内更为方便。逻辑论者及计算机科学家,接受集合论者的定义。而其他一些数学家,主要是数论学家,则依从传统把零拒之于自然数之外。

在全球范围内,目前针对0是否属于自然数的争论依旧存在。

在中国大陆,2000年左右之前的中小学教材一般将0列入自然数之内,或称其属于“扩大的自然数列”。在2000年左右之后的新版中小学教材中,普遍将0列入自然数。

认为自然数不包含零的其中一个理由是自然数所指为自然界中存在的数,例如一棵大树、两条鱼、十亿个细胞等等,而鲜少有人说零个物品。

国际标准ISO 31-11:1992英语ISO 31-11《量和单位 第十一部分:物理科学和技术中使用的数学标志与符号》(已被ISO/IEC 80000-2英语ISO/IEC 80000取代)中,从集合论角度规定:符号 N {\displaystyle \mathbb {N} } 所表示的自然数集是包括正整数和0。

中国于1993年制定的强制性国家标准《物理科学和技术中使用的数学符号》(GB 3102.11-93)参照国际标准ISO 31-11规定: N {\displaystyle \mathbb {N} } 表示“非负整数集;自然数集”, N = { 0 , 1 , 2 , 3 , } {\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,3,\ldots \}}

符号

常用双线的大写 N 符号来表示自然数集合。

数学家们使用 N {\displaystyle N} N {\displaystyle \mathbb {N} } 来表示所有自然数的集合。较早的教科书也有使用 J {\displaystyle J} 来表示这一集合的情况。[5]

为了消除是否包含 0 的歧义,有时也会通过下标(或者上标)“0”表示集合中包含 0,通过上标“ {\displaystyle ^{*}} ”“ + {\displaystyle ^{+}} ”或者下标“ 1 {\displaystyle _{1}} ”“ > 0 {\displaystyle _{>0}} ”表示集合中不包含 0:[6]

N 0 = N 0 = { 0 , 1 , 2 , } {\displaystyle \mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} ^{0}=\{0,1,2,\dots \}}
N = N + = N 1 = N > 0 = { 1 , 2 , } {\displaystyle \mathbb {N} ^{*}=\mathbb {N} ^{+}=\mathbb {N} _{1}=\mathbb {N} _{>0}=\{1,2,\dots \}}

定义

主条目:皮亚诺公理和自然数的集合论定义

为了给出自然数的严格定义,朱塞佩·皮亚诺采用序数理论提出自然数的5条公理,被称为皮亚诺公理。这五条公理用非形式化的方法叙述如下:

  1. 0是自然数;
  2. 每一个确定的自然数a,都有一个确定的后继数a' a' 也是自然数;
  3. 对于每个自然数bcb=c当且仅当b的后继数=c的后继数;
  4. 0不是任何自然数的后继数;
  5. 任意关于自然数的命题,如果证明:它对自然数0是真的,且假定它对自然数a为真时,可以证明对a' 也真。那么,命题对所有自然数都真。

其中,一个数的后继数指紧接在这个数后面的数,例如,0的后继数是1,1的后继数是2等等;公理5保证了数学归纳法的正确性,从而被称为归纳法原理。

若不将0视作自然数,则公理1,4,5中的“0”要换成“1”。

在基数理论中,集合论的一般做法是首先把0定义为空集,然后把一非零自然数看作是所有比该数小的自然数组成的集合,即

0 = { } , 1 = { 0 } , 2 = { 0 , 1 } , 3 = { 0 , 1 , 2 } , {\displaystyle 0=\{\},1=\{0\},2=\{0,1\},3=\{0,1,2\},\ldots }

透过无穷公理,可以得到只包含全体自然数的自然数集 N {\displaystyle \mathbb {N} }

另外,在此定义下,在集合 n {\displaystyle n} 内就有 n {\displaystyle n} 个元素;而若 n {\displaystyle n} 小于 m {\displaystyle m} ,则 n {\displaystyle n} 会是 '

性质

自然数加法可经 a + 0 = a {\displaystyle a+0=a} a + ( b + 1 ) = ( a + b ) + 1 {\displaystyle a+(b+1)=(a+b)+1} 递归定义而成。因而得出交换幺半群 ( N , + ) {\displaystyle (N,+)} ,是由 1 {\displaystyle 1} 生出的自由幺半群,其中幺元为 0 {\displaystyle 0} 。此幺半群服从消去律,可嵌入一群内:最小的是整数群。

同理,自然数乘法 × {\displaystyle \times } 可经 a × 0 = 0 {\displaystyle a\times 0=0} a × ( b + 1 ) = a b + a {\displaystyle a\times (b+1)=ab+a} 得出。而 ( N , × ) {\displaystyle (N,\times )} 亦是交换幺半群; × {\displaystyle \times } + {\displaystyle +} 符合分配律:

a × ( b + c ) = a b + a c {\displaystyle a\times (b+c)=ab+ac}

我们说 a b {\displaystyle a\leq b} 当且仅当有自然数 c {\displaystyle c} 使得 a + c = b {\displaystyle a+c=b} ( N , ) {\displaystyle (N,\leq )} 是一个良序集,即每个非空子集都有一个最小的自然数。此序也和加法及乘法兼容,即若 a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} c {\displaystyle c} 都是自然数且 a b {\displaystyle a\leq b} ,则 a + c b + c {\displaystyle a+c\leq b+c} a c b c {\displaystyle ac\leq bc}

给定两个自然数 a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} ,其中 b 0 {\displaystyle b\neq 0} ,可找到唯一的两个自然数 q {\displaystyle q} r {\displaystyle r} 使得

a = b q + r ,   0 r < q {\displaystyle a=bq+r,\ 0\leq r<q}

q {\displaystyle q} 称为“商数”而 r {\displaystyle r} 称为“余数”。 若 r = 0 {\displaystyle r=0} ,则称 a {\displaystyle a} 可被 b {\displaystyle b} 整除,记为 b | a {\displaystyle b|a}

相关概念有可除性、辗转相除、素数及其它数论概念。

推广

自然数有两种推广:序数用作排列,而基数用于判定集合的大小。

对于有限序列或有限集合,序数及基数皆与自然数同。

参考来源

维基教科书中的相关电子教程:小学数学/自然数
维基学院中的相关研究或学习资源:
自然数
  1. ^ Standard number sets and intervals. ISO 80000-2:2009. International Organization for Standardization. : 6. 
  2. ^ 王好民,《谈谈中学数学中的“0”》。曲阜师院学报(自然科学版),1979年03期。
  3. ^ (沧州市第一中学)李元星,潘峰,《关于0是自然数的探讨》。教育实践与研究,2004年01期。
  4. ^ (江苏省连云港市墟沟实验小学)傅海洋,《“0是自然数”引发的教学问题》。现代中小学教育,2007年08期。
  5. ^ Rudin, W. Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill. 1976: 25. ISBN 978-0-07-054235-8. 
  6. ^ 人民教育出版社 课程教材研究所。中国数学课程教材研究开发中心. 普通高中标准课程实验教科书 数学1 必修 A版. 人民教育出版社. 2004年5月. ISBN 9787107177057 (中文(简体)‎).  使用|accessdate=需要含有|url= (帮助)
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