在数学中,唯一分解整环Unique factorization domain)是一个整环,其中元素都可以表示成有限个不可约元素(或素元)之积,并且表示法在允许重排与相伴(associative)之下唯一,相当于满足算术基本定理的整环。唯一分解整环通常以英文缩写UFD表示。

定义

一个整环 R {\displaystyle R} 被称为唯一分解整环当且仅当 R {\displaystyle R} 中的每个非零元素 x {\displaystyle x} 皆可表示为一个可逆元和若干个不可约元素(可以是0个)的乘积:

x = u p 1 p 2 p n {\displaystyle x=up_{1}p_{2}\cdots p_{n}}

其中 u {\displaystyle u} 是一个可逆元, p 1 , , p n {\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{n}} 是不可约元素, n {\displaystyle n} 是非负整数。并且如果存在 x {\displaystyle x} 的另一种表示法此表法 x = v q 1 q 2 q m {\displaystyle x=vq_{1}q_{2}\cdots q_{m}} v {\displaystyle v} 是可逆元, q 1 , , q m {\displaystyle q_{1},\cdots ,q_{m}} 是不可约元素),则 m = n {\displaystyle m=n} ,且存在一个下标的重排 σ S n {\displaystyle \sigma \in S_{n}} 与可逆元 w 1 , , w n {\displaystyle w_{1},\cdots ,w_{n}} 使得 q i = w i p σ ( i ) {\displaystyle q_{i}=w_{i}p_{\sigma (i)}} i = 1 , , n {\displaystyle i=1,\cdots ,n} ),换句话说,存在 σ S n {\displaystyle \sigma \in S_{n}} 使得 q i {\displaystyle q_{i}} p σ ( i ) {\displaystyle p_{\sigma (i)}} 相伴。

例子

以下给出几个反例:

( 6 ) = ( 2 ) ( 3 ) = ( 1 + 5 ) ( 1 5 ) {\displaystyle (6)=(2)(3)=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}

性质

整数的一些概念可以推广至唯一分解整环:

等价条件

文献

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