在抽象代数中,欧几里得整环Euclidean domain)是一种能作辗转相除法的整环。凡欧几里得整环必为主理想环。

定义

一个欧几里得整环是一整环 D {\displaystyle D} 及函数 v : D { 0 } N { 0 } {\displaystyle v:D\setminus \{0\}\to \mathbb {N} \cup \{0\}} ,使之满足下述性质:

函数 v {\displaystyle v} 可设想成元素大小的量度,当 D = Z {\displaystyle D=\mathbb {Z} } 时可取 v ( x ) := | x | {\displaystyle v(x):=|x|}

例子

欧几理得整环的例子包括了:

利用辗转相除法(定义中的第一条性质),可以证明欧几里得环必为主理想环,此时理想由其中 v {\displaystyle v} -值最小的元素生成。由此得到一个推论:欧几里得整环必为唯一分解环。

并非所有主理想环都是欧几里得整环,Motzkin 证明了 Q [ d ] {\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]} 的整数环在 d = 19 , 43 , 67 , 163 {\displaystyle d=-19,-43,-67,-163} 时并非欧几里得整环,却仍是主理想环。这方面的进一步结果详见以下文献。

文献

www.zuoweixin.com
问题反馈联系QQ:暂无联系方式,也可发qq邮箱。