代数分式是指分子及分母都是代数式的分数,像 3 x x 2 + 2 x 3 {\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}} x + 2 x 2 3 {\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}} . 都是代数分式。

有理分式是指分子及分母都是多项式的分式,像 3 x x 2 + 2 x 3 {\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}} 为有理分式,但 x + 2 x 2 3 {\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}} 的分子为根式,不是多项式,因此不是有理分式。

术语

在代数分式 a b {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}} 中,被除数称为分子,除数称为分母,两者都是代数分式的项。

若代数分式的分子或分母中包括复数,则称为复数分式。

简分式是其分子或分母都不是分式的代数分式,若一个表示式不是以分式的形式表示,则称为整式,不过只要将分母设为1,即可以将整式表示为代数分式,带分式指整式和分式的代数和。

有理分式

主条目:有理函数

若代理分式的a和b都是多项式,此分式称为有理代数分式,或简称为有理分式。有理分式也称为有理表示式或有理函数。若有理分式 f ( x ) g ( x ) {\displaystyle {\tfrac {f(x)}{g(x)}}} 满足 deg f ( x ) < deg g ( x ) {\displaystyle \deg f(x)<\deg g(x)} ,称为真分式,否则称为假分式,像 2 x x 2 1 {\displaystyle {\tfrac {2x}{x^{2}-1}}} 为真分式,而 x 3 + x 2 + 1 x 2 5 x + 6 {\displaystyle {\tfrac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}} x 2 x + 1 5 x 2 + 3 {\displaystyle {\tfrac {x^{2}-x+1}{5x^{2}+3}}} 是假分式。假分式可以表示为整式(可能是常数)及真分式的和,例如以上提到的假分式可以表示为

x 3 + x 2 + 1 x 2 5 x + 6 = ( x + 6 ) + 24 x 35 x 2 5 x + 6 , {\displaystyle {\frac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}=(x+6)+{\frac {24x-35}{x^{2}-5x+6}},}

其中第二项为真有理分式,二个真分式的和也会是真分式,有时会将真分式的分母因式分解,再将真分式表示数个真因式,其分母分别为原分母的因式(或因式次方),这称为部分分式,例如以下等号右边的即为部分分式

2 x x 2 1 = 1 x 1 + 1 x + 1 . {\displaystyle {\frac {2x}{x^{2}-1}}={\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x+1}}.}

因此等号右边的称为部分分式,例如真分式积分时会先进行部分分式分解,再进行积分,称为部分分式积分法。

无理分式

无理分式是指分式中有变数的幂式为小数,像以下的分式即为无理分式

x 1 2 1 3 a x 1 3 x 1 2 . {\displaystyle {\frac {x^{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}a}{x^{\tfrac {1}{3}}-x^{\tfrac {1}{2}}}}.}

将无理分式变为有理分式的过程称为有理化,每个根式为单项的无理分式可以用以下的方式有理化:找到所有幂次分母的最小公倍数,再将变数用另一变数的幂次取代,使原来的根式都变为新变数的整数幂次,例如在上式中,幂次分母的最小公倍数为6,因此可以令 x = z 6 {\displaystyle x=z^{6}} ,得到

z 3 1 3 a z 2 z 3 . {\displaystyle {\frac {z^{3}-{\tfrac {1}{3}}a}{z^{2}-z^{3}}}.}

脚注

  1. ^ Bansi Lal. Topics in Integral Calculus. 2006: 53. 
  2. ^ Ėrnest Borisovich Vinberg. A course in algebra. 2003: 131. 
  3. ^ Parmanand Gupta. Comprehensive Mathematics XII. : 739. 
  4. ^ Washington McCartney. The principles of the differential and integral calculus; and their application to geometry. 1844: 203. 
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