Ring)是由集合R和定义于其上的两种二元运算(记作+和·,常被简称为加法和乘法,但与一般所说的加法和乘法不同)所构成的,符合一些性质(具体见下)的代数结构。

环的定义类似于交换群,只不过在原来“+”的基础上又增添另一种运算“·”(注意我们这里所说的 + 与 · 一般不是我们所熟知的四则运算加法和乘法)。在抽象代数中,研究的分支为环论。

定义

集合R和定义于其上的二元运算 + 和·,(R, +, ·)构成一个,若它们满足:

  1. (R, +)形成一个交换群,其单位元称为零元,记作‘0’。即:
    • (R, +)是封闭的
    • (a + b) = (b + a)
    • (a + b) + c = a + (b + c)
    • 0 + a = a + 0 = a
    • ∀a ∃(−a) 满足 a + −a = −a + a = 0
  2. (R, ·)形成一个半群。即:
    • (R, ·)是封闭的
    • (a·b)·c = a·(b·c)
  3. 乘法关于加法满足分配律。即:
    • a·(b + c) = (a·b) + (a·c)
    • (a + b)·c = (a·c) + (b·c)

其中,乘法运算符·常被省略,所以 a·b 可简写为 ab。 此外,乘法是比加法优先的运算,所以 a + bc 其实是 a + (b·c)。

基本性质

考虑一个环R,根据环的定义,易知R有以下性质:

证明:a·0 = a·(0 + 0) (环的结合律) = a·0 + a·0 => a·0 - a·0 = a·0 + a·0 - a·0 (环有加法逆元) => 0 = a·0 ; 0·a 同理

证明: (-a)·b = (-a)·b + (a·b) - (a·b) = (-a + a)·b - (a·b) (环的结合律) = 0·b - (a·b) = -(a·b) ; a·(-b) 同理,故(-a)·b = -(a·b) = a·(-b)

环的相关概念

特殊的环

幺环
若环R中,(R, ·)构成幺半群。即:∃1∈R,使得∀a∈R,有1·a=a·1=a。则R称为幺环。此时幺半群(R, ·)的幺元1,亦称为环R的幺元。
交换环
若环R中,(R, ·)还满足交换律,从而构成交换半群,即:∀a,b∈R,有ab=ba,则R称为交换环
无零因子环
若R中没有非0的零因子,则称R为为无零因子环
整环
无零因子的交换幺环称为整环

例:整数环,多项式环

唯一分解环
若整环R中每个非零非可逆元都能唯一分解,称R是唯一分解环.
除环
若环R是幺环,且R\{0}对R上的乘法形成一个群,即:∀a∈R\{0},∃a∈R\{0},使得a·a=a·a=1。则R称为除环
主理想环
每个理想都是主理想的整环称为主理想环
单环
若幺环R中的极大理想是零理想,则称R为单环
商环
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