函数ƒ和它的反函数ƒ。由于ƒ把a映射到3,因此反函数ƒ把3映射回到a

在数学里,反函数为对一给定函数做逆运算的函数。精确定义为,设 f {\displaystyle f} 为一函数,其定义域为 X {\displaystyle X} ,值域为 Y {\displaystyle Y} 。如果存在一函数 g {\displaystyle g} ,其定义域和值域分别为 Y , X {\displaystyle Y,\,X} ,并对每一 x X {\displaystyle x\in X} 有: g ( f ( x ) ) = x {\displaystyle g(f(x))=x\,} 则称 g {\displaystyle g} f {\displaystyle f} 的反函数,记之为 f 1 {\displaystyle f^{-1}} 。注意上标“−1”指的并不是幂,跟在三角学里特指 sin x {\displaystyle \sin x} 平方的 sin 2 x {\displaystyle \sin ^{2}x} 不同。例如,若给定一函数 f : x 3 x + 2 {\displaystyle f:x\mapsto 3x+2} ,则其反函数为 f 1 : x x 2 3 {\displaystyle f^{-1}:x\mapsto {\frac {x-2}{3}}} 。若一函数有反函数,此函数便称为可逆的

简单规则

一般而言,当 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 为一任意函数,且 g {\displaystyle g} 为其反函数,则 g ( f ( x ) ) = x {\displaystyle g(f(x))=x} f ( g ( y ) ) = y {\displaystyle f(g(y))=y} 。换句话说,一反函数会取消原函数的作用。在上述例子,可以证明 f 1 {\displaystyle f^{-1}} 确为反函数,以将 x 2 3 {\displaystyle {\frac {x-2}{3}}} 代入 f {\displaystyle f} 的方式,如此

3 × x 2 3 + 2 = x {\displaystyle 3\times {\frac {x-2}{3}}+2=x}

类似地,也可以将 f {\displaystyle f} 代入 f 1 {\displaystyle f^{-1}} 来证明。

确实, f {\displaystyle f} 的反函数 g {\displaystyle g} 的一等价定义,就是 g f {\displaystyle g\circ f} 为于 f {\displaystyle f} 定义域上的恒等函数,且 f g {\displaystyle f\circ g} f {\displaystyle f} 值域上的恒等函数。(其中的"o"表示函数复合)

存在性

如果一函数 f {\displaystyle f} 有反函数, f {\displaystyle f} 必须是一双射函数,即:

不然将没有办法对某些元素定义 f {\displaystyle f} 的反函数。

f {\displaystyle f} 为一实函数。若 f {\displaystyle f} 有一反函数,它必通过水平线测试,即一放在 f {\displaystyle f} 图上的水平线 y = k {\displaystyle y=k} 必对所有实数 k {\displaystyle k} ,至多通过一次。换言之,当 k {\displaystyle k} 位于 f {\displaystyle f} 的值域时, y = k {\displaystyle y=k} 恰好通过f图一次。

性质

另见

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