在数学上,佩兰数列是一个整数数列,由起始数值 P 0 = 3 ; P 1 = 0 ; P 2 = 2 {\displaystyle P_{0}=3;P_{1}=0;P_{2}=2} 和递归关系 P n = P n 2 + P n 3 {\displaystyle P_{n}=P_{n-2}+P_{n-3}} 定义。

首数个值为3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12, 17, 22, 29, 39, ... (OEIS:A001608)

佩兰数列的递归关系和巴都万数列一模一样,只是起始值不同而已。

佩兰伪质数

考虑数列中 n | P n {\displaystyle n|P_{n}} 的数,有1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...除掉1外,这些数都是质数。

已经证明了对于所有质数, p | P p {\displaystyle p|P_{p}} 。但其逆定理并不成立,这样的合成数称为佩兰伪质数,最小的一个是 271441 = 521 2 {\displaystyle 271441=521^{2}} 。(OEIS:A013998)

历史

此数列早于1878年就被爱德华·卢卡斯研究(American Journal of Mathematics, vol 1, page 230ff)。1899年R. Perrin(L'Intermediaire Des Mathematiciens)又再研究。对此数列较详尽的研究是Dan Shanks及Bill Adams在1982年发表的论文(Mathematics of Computation, vol 39, n. 159)。

生成函数

佩兰数列的生成函数为:

G ( P ( n ) ; x ) = 3 x 2 1 x 2 x 3 . {\displaystyle G(P(n);x)={\frac {3-x^{2}}{1-x^{2}-x^{3}}}.}

矩阵形式

( 0 1 1 1 0 0 0 1 0 ) n ( 3 0 2 ) = ( P ( n + 2 ) P ( n + 1 ) P ( n ) ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}^{n}*{\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}P\left(n+2\right)&P\left(n+1\right)&P\left(n\right)\end{pmatrix}}}

估计值

和巴都万数列一样,佩兰数列的一般形式也和方程 x 3 x 1 = 0 {\displaystyle x^{3}-x-1=0} 的三个根有关:实根 p {\displaystyle p} (即银数)和两个复数根 q {\displaystyle q} r {\displaystyle r}

P n = p n + q n + r n {\displaystyle P_{n}=p^{n}+q^{n}+r^{n}}

因为 q {\displaystyle q} r {\displaystyle r} 的绝对值少于1,在 n {\displaystyle n} 很大的时候会很接近0,可以忽略: P n p n {\displaystyle P_{n}\approx p^{n}} 。显然易见两个连续佩兰数之比会以银数为极限,即约1.324718。

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