在公理化集合论和使用它的逻辑、数学和计算机科学中,无穷公理是 Zermelo-Fraenkel 集合论的公理之一。

形式陈述

在 Zermelo-Fraenkel 公理的形式语言中,这个公理读作:

N : N ( x : x N x { x } N ) {\displaystyle \exists \mathbf {N} :\varnothing \in \mathbf {N} \land (\forall x:x\in \mathbf {N} \implies x\cup \{x\}\in \mathbf {N} )}

或用非形式化的语言陈述:存在一个集合 N {\displaystyle \mathbb {N} } ,使得空集在 N {\displaystyle \mathbb {N} } 中,并且只要 x {\displaystyle x} N {\displaystyle \mathbb {N} } 的成员,则 x {\displaystyle x} 与它的单元素集合 { x } {\displaystyle \{x\}} 此两者的并集也是 N {\displaystyle \mathbb {N} } 的成员。这种集合有时也叫做归纳集合。归纳集合是带有如下性质的集合 X {\displaystyle X} :对于所有 x X {\displaystyle x\in X} x {\displaystyle x} 的后继 x {\displaystyle x'} 也是 X {\displaystyle X} 的一个元素。

解释

要理解这个公理,首先我们要定义 x {\displaystyle x} 的后继为 x { x } {\displaystyle x\cup \{x\}} 。注意配对公理允许我们形成单元素集合 { x } {\displaystyle \{x\}} 。后继是用来定义自然数的常用的集合论编码。在这种编码中,0是空集( 0 = {\displaystyle 0=\varnothing } ),而1是0的后继:

1 = 0 { 0 } = { 0 } = { 0 } {\displaystyle 1=0\cup \{0\}=\varnothing \cup \{0\}=\{0\}}

类似地,2 是1 的后继:

2 = 1 { 1 } = { 0 } { 1 } = { 0 , 1 } {\displaystyle 2=1\cup \{1\}=\{0\}\cup \{1\}=\{0,1\}}

如此类推。这个定义的推论是对于任何自然数 n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} 等同于由它的所有前驱(predecessor)组成的集合。

我们希望可以形成包含所有自然数的一个集合,但是只使用其他ZF公理的话并不能做到这一点。因此,有必要加入无穷公理以假定这个集合的存在。它是通过类似于数学归纳法的方法完成的:首先假定有一个集合 S {\displaystyle S} 包含零,并接着规定对于 S {\displaystyle S} 的所有元素,这个元素的后继也在 S {\displaystyle S} 中。

这个集合 S {\displaystyle S} 可以不只是包含自然数,还包含别的元素。但是我们可以应用分类公理模式来除去不想要的元素,留下所有自然数的集合 N {\displaystyle \mathbb {N} } 。通过外延公理可知这个集合是唯一的。应用分类(分离)公理的结果是:

N n ( n N ( [ k n ( ) k n ( j k ( j n ) j n ( j = k j k ) ) ] {\displaystyle \exists \mathbf {N} \forall n(n\in \mathbf {N} \iff ([\forall k\in n(\bot )\lor \exists k\in n(\forall j\in k(j\in n)\land \forall j\in n(j=k\lor j\in k))]\land }
m n [ k m ( ) k n ( k m j k ( j m ) j m ( j = k j k ) ) ] ) ) {\displaystyle \forall m\in n[\forall k\in m(\bot )\lor \exists k\in n(k\in m\land \forall j\in k(j\in m)\land \forall j\in m(j=k\lor j\in k))]))}

用非形式化的语言陈述:所有自然数的集合存在;这里的自然数要么是零,要么是一个自然数k的后继,并且 k {\displaystyle k} 的每个元素要么是0要么是 k {\displaystyle k} 的另外一个元素的后继。

所以这个公理的本质是:

有一个集合包含所有的自然数。

无穷公理也是von Neumann-Bernays-Gödel 公理之一。

引用

集合论
公理
  • 选择
    • 可数
    • 相关英语Axiom of dependent choice
  • 外延
  • 无穷
  • 配对
  • 幂集
  • 正则性
  • 并集
  • 马丁公理英语Martin's axiom
  • 公理模式
    • 替代
    • 分类
运算
  • 笛卡儿积
  • 德摩根定律
  • 交集
  • 幂集
  • 补集
  • 对称差
  • 并集
  • 概念
  • 方法
  • 基数(大基数)
  • 可构造全集英语Constructible universe
  • 连续统假设
  • 对角论证法
  • 元素
    • 有序对
    • 多元组
  • 集合族
  • 力迫
  • 一一对应
  • 序数
  • 超限归纳法
  • 文氏图
集合类型
  • 可数集
  • 空集
  • 有限集合(继承有限集合)
  • 模糊集
  • 无限集合
  • 递归集合
  • 子集
  • 传递集合
  • 不可数集
  • 泛集英语Universal set
理论
  • 可替代的集合论
  • 集合论
  • 朴素集合论
  • 康托尔定理
  • 策梅洛
    • 广义英语General set theory
  • 数学原理
    • 新基础
  • 策梅洛-弗兰克
    • 冯诺伊曼-博内斯-哥德尔
      • Morse–Kelley英语Morse–Kelley set theory
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