丢番图分析是数论的一个分支。最经典的丢番图逼近主要用于有理数逼近实数,亦即实数的有理逼近相关问题。其中有理数一般用分数形式表达,且一律要求分子为整数,分母为正整数,通常要求是既约分数

丢番图逼近的名称源于古希腊数学家丢番图。这是因为有理逼近可以归结为求不等式整数解的问题,而求方程整数解的问题一般称为丢番图方程(或不定方程),故而得名。事实上,丢番图逼近与不定方程的研究确有颇多相关。

丢番图逼近的首要问题是寻求实数的最佳(有理)丢番图逼近,简称最佳逼近。具体来说,对于一个实数 α {\displaystyle \alpha } ,希望找到一个“最优”的有理数 p / q {\displaystyle p/q} 作为 α {\displaystyle \alpha } 的近似,使在分母不超过 q {\displaystyle q} 的所有有理数中, p / q {\displaystyle p/q} α {\displaystyle \alpha } 的距离最小。这里的“距离”可以是欧氏距离,即两数之差的绝对值;也可以用 | q α p | {\displaystyle |q\alpha -p|} 等方式度量。满足此类要求的有理数 p / q {\displaystyle p/q} 称为实数 α {\displaystyle \alpha } 的一个最佳逼近。关于如何寻找实数的最佳逼近及相关论题,已于18世纪随着连分数理论的发展得到基本解决。

其后,该领域的主要注意力转向对有理逼近的误差进行估计、度量,以给出尽可能精确的上下界(一般用分母的函数表示)。作为分母的函数, 这种上下界的阶与 α {\displaystyle \alpha } 的性质密切相关。当 α {\displaystyle \alpha } 分别为有理数、代数数、超越数时,其最佳逼近误差下界的阶是不同的。基于这种思想,刘维尔在1844年建立了有关代数数逼近的一个基本结论,并由此具体地构造出了一个超越数(参见刘维尔数),证明了它的超越性。这在人类历史上尚属首次。由此可见,丢番图逼近与数论的另一分支——超越数论紧密相关。

除了上述最经典的单个实数的有理逼近问题,该领域还包括多个实数的联立逼近,非齐次逼近,实数的代数数逼近,一致分布(均匀分布)等方面。甚至连p进数上的丢番图逼近也有颇多研究。

实数的最佳丢番图逼近

有理数与实数的距离

无论何种丢番图逼近问题, 都需要定义“距离”。对于实数的有理逼近,要考虑的是有理数 p / q {\displaystyle p/q} 与实数 α {\displaystyle \alpha } 的距离。对此一般有两种定义方式,其一是非常自然的欧氏距离 | α p / q | {\displaystyle |\alpha -p/q|} ,其二是 | q α p | {\displaystyle |q\alpha -p|} 第二种定义方式是有理数所独有的,在丢番图逼近的理论和实践中都很常用,不过这样定义的距离并非一个度量。

这两种距离也可看作只由分母 q {\displaystyle q} 决定的。此时,上述第二种定义变为

min { p Z : | q α p | } = | | q α | | {\displaystyle \min\{p\in \mathbb {Z} :|q\alpha -p|\}=||q\alpha ||}

上式右端的记号在丢番图逼近中很常用。沿用此记号,第一种定义变为

min { p Z : | α p / q | } = | | q α | | / q {\displaystyle \min\{p\in \mathbb {Z} :|\alpha -p/q|\}=||q\alpha ||/q}

此时不要求 p , q {\displaystyle p,q} 互素。

对于实数的最佳逼近问题,依“距离”的定义不同,有第一类和第二类之分,二者的结论有所不同。未加限定时,“最佳逼近”一词一般指的是第一类最佳逼近。

问题的提法

在本节中,对有理数 p / q {\displaystyle p/q} ,我们用“优”一词形容它与给定实数 α {\displaystyle \alpha } 的距离更接近,此处的“距离”一般是按照1.1节给出的两种定义方式之一。当 α {\displaystyle \alpha } 为无理数时,无论按上述哪一种距离,只要分母 q {\displaystyle q} 足够大, p / q {\displaystyle p/q} 总能与 α {\displaystyle \alpha } 任意接近。因此,单纯讨论“最优”(意即与 α {\displaystyle \alpha } 最接近的)有理数意义不大,还需要对有理数的范围,主要是分母的范围加以限制。这样,给定一个实数 α {\displaystyle \alpha } 后,就产生了以下三个自然的问题:

  1. 对于哪些有理数 p / q {\displaystyle p/q} ,其在分母不超过 q {\displaystyle q} 的所有有理数中是最优的?
  2. 对于给定的正整数,在分母不超过它的所有有理数中,最优的是哪个?(如果有多个,一般取分母最小者)
  3. 对于一个有理数(通常考虑的是最佳逼近),比它更优的有理数中分母最小的是哪个?

问题1正是经典丢番图逼近领域的一个核心问题,也是后两个问题的基础;问题2可视作问题1的扩展,从某些角度看它的提法甚至更为自然;问题3则可看作问题2的某种反问题。

丢番图逼近领域的最佳逼近一词,一般就指符合问题1中条件的有理数。两种距离都可以考虑,分别对应两类最佳逼近。具体来说,给定一个实数 α {\displaystyle \alpha } ,称有理数 p / q {\displaystyle p/q} α {\displaystyle \alpha } 第一类最佳逼近,当且仅当对每个与 p / q {\displaystyle p/q} 不同的有理数 p / q {\displaystyle p'/q'} ,在 q q {\displaystyle q'\leq q} 时恒有

| α p / q | < | α p / q | {\displaystyle |\alpha -p/q|<|\alpha -p'/q'|}

如果其余条件不变,最后的不等式变为

| q α p | < | q α p | {\displaystyle \left|q\alpha -p\right|<\left|q^{\prime }\alpha -p^{\prime }\right|}

则称 p / q {\displaystyle p/q} α {\displaystyle \alpha } 的第二类最佳逼近。显然,第二类最佳逼近一定是第一类的,反之则未必。例如对于2/3来说,1/2是第一类最佳逼近,但不是第二类的。

对于问题2, 3,依“距离”的定义不同,也有类似的第一类和第二类之分。问题1解决后,不难得到问题2, 3的结论。事实上,后两个问题中所求的有理数一定是一个最佳逼近。

结论

实数最佳逼近问题与连分数理论有密切联系,后者提供了计算最佳逼近的理论依据和具体算法。下面总假设实数 α {\displaystyle \alpha } 的简单连分数表达式为

α = [ a 0 ; a 1 , a 2 , , a n ] {\displaystyle \alpha =[a_{0};a_{1},a_{2},\,\ldots ,a_{n}\,\ldots ]}

再设Ck = pk/qk α {\displaystyle \alpha } 的k阶渐进分数(即收敛子),Ck, t = pk, t/qk, t的第t个k阶中间渐近分数(简称中间分数,又名半收敛子,参见连分数#半收敛),其中

p k , t = t p k 1 + p k 2 ,   q k , t = t q k 1 + q k 2 ,   C k , t = p k , t / q k , t = [ a 0 ; a 1 , , a k 1 , t ] {\displaystyle p_{k,t}=tp_{k-1}+p_{k-2},\ q_{k,t}=tq_{k-1}+q_{k-2},\ C_{k,t}=p_{k,t}/q_{k,t}=[a_{0};a_{1},\,\ldots ,a_{k-1},t]}

习惯上认为中间分数不包括渐近分数,因此,上述记号中一般要求 t < a k ,   t N {\displaystyle t<a_{k},\ t\in \mathbb {N} ^{*}} 此时 C k , t {\displaystyle C_{k,t}} 总在 C k 1 {\displaystyle C_{k-1}} C k {\displaystyle C_{k}} 之间。

第二类最佳逼近

第二类最佳逼近的结论比较简单:实数的第二类最佳逼近恰是它的简单连分数的所有渐近分数。此时需要注意 α {\displaystyle \alpha } 为有理数时,它的简单连分数展开要取最后一位不是1的那个。例如2/3的连分数要写成[0; 1, 2]而不是[0; 1, 1, 1],故此时[0; 1, 1]=1/2不是2/3的渐近分数。事实上,1/2确实不是2/3的第二类最佳逼近。另外,此论断有一个平凡的例外:若 a k = 1 {\displaystyle a_{k}=1} α {\displaystyle \alpha } 的第0个渐近分数并非第二类最佳逼近。

对于问题2,给定正整数 M > 1 {\displaystyle M>1} ,设 q k 1 M < q k {\displaystyle q_{k-1}\leq M<q_{k}} ,则在分母不超过M的有理数中,最优的是第 k 1 {\displaystyle k-1} 个渐近分数 C k 1 {\displaystyle C_{k-1}}

对于问题3,给定一个第二类最佳逼近,它一定是某个渐近分数 C k 1 {\displaystyle C_{k-1}} α {\displaystyle \alpha } 为半整数时有例外,此时 a 0 + 1 {\displaystyle a_{0}+1} 也第二类最佳逼近,但对结论没有本质影响),那么比它更优的有理数中分母最小的是 C k {\displaystyle C_{k}}

第一类最佳逼近

对于第一类最佳逼近,问题要复杂一些。此时渐近分数当然仍是最佳逼近,但某些中间分数亦是。具体来说,

[ a k + 1 ; a k + 2 , ] > q k 1 / q k 2 {\displaystyle [a_{k+1};a_{k+2},\,\ldots ]>q_{k-1}/q_{k-2}}

另一方面,第一类最佳逼近一定是渐近分数或中间分数。为使此论断无例外,需补充定义-1阶渐进分数为1/0,这样可以考虑0阶的中间分数。这里还需要特别注意 α {\displaystyle \alpha } 为有理数时,它的简单连分数展开要取最后一位是1的那个。例如2/3的连分数要写成[0;1, 1, 1]而不是[0;1, 2],故此时[0; 1, 1]=1/2是2/3的渐近分数。事实上,1/2确实是2/3的第一类最佳逼近。

总结起来, α {\displaystyle \alpha } 的第一类最佳逼近恰有三类:

问题2, 3的结论与上一小节类似。

例子

考虑自然对数底 e=2.718281828459045235……,其连分数表达式为

[ 2 ; 1 , 2 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 6 , 1 , 1 , 8 , 1 , ] {\displaystyle [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,\ldots \;]}

它的第二类最佳逼近依次是:

3 , 8 3 , 11 4 , 19 7 , 87 32 , {\displaystyle 3,{\frac {8}{3}},{\frac {11}{4}},{\frac {19}{7}},{\frac {87}{32}},\ldots \,}

它的第一类最佳逼近依次是:

3 , 5 2 , 8 3 , 11 4 , 19 7 , 30 11 , 49 18 , 68 25 , 87 32 , 106 39 , {\displaystyle 3,{\frac {5}{2}},{\frac {8}{3}},{\frac {11}{4}},{\frac {19}{7}},{\frac {30}{11}},{\frac {49}{18}},{\frac {68}{25}},{\frac {87}{32}},{\frac {106}{39}},\ldots \,}

和渐近分数一样,最佳逼近一般也按分母由小到大排列。

又如圆周率 π=3.145926535897……,其连分数表达式为

[ 3 ; 7 , 15 , 1 , 292 , 1 , 1 , 1 , 2 , 1 , 3 , 1 , 14 , ] {\displaystyle [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,\ldots ]}

它的前几个渐近分数如下:

3 , 22 7 , 333 106 , 355 113 , 103993 33102 {\displaystyle 3,{\frac {22}{7}},{\frac {333}{106}},{\frac {355}{113}},{\frac {103993}{33102}}}

其中的22/7正是约率,而355/113正是密率。按上面的结论,由于292为偶数,且

[ 1 ; 1 , 1 , 2 , 1 , 3 , 14 ] > [ 1 , 1 , 1 ] = 3 / 2 > 113 / 106 {\displaystyle [1;1,1,2,1,3,14\ldots ]>[1,1,1]=3/2>113/106}

故355/113之后的下一个第一类最佳逼近是 C 4 , 292 / 2 = 52163 / 16604 {\displaystyle C_{4,292/2}=52163/16604} 。这说明355/113比分母小于16604的任何有理数都更接近π(依欧氏距离),可见密率的精确性。

刘维尔定理与Roth定理

丢番图逼近理论的基础之一是刘维尔的一个关于代数数逼近的定理:

定理:设无理数 α {\displaystyle \alpha } 是一个整系数 n {\displaystyle n} 次多项式的根,则存在常数 A > 0 {\displaystyle A>0} ,使得对任意两整数 p , q > 0 {\displaystyle p,q>0}

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