佩尔方程的动画

若一个丢番图方程具有以下的形式:

x 2 n y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1}

n {\displaystyle n} 为正整数,则称此二元二次不定方程为佩尔方程(英文:Pell's equation德文:Pellsche Gleichung)。

n {\displaystyle n} 是完全平方数,则这个方程式只有平凡解 ( ± 1 , 0 ) {\displaystyle (\pm 1,0)} (实际上对任意的 n {\displaystyle n} ( ± 1 , 0 ) {\displaystyle (\pm 1,0)} 都是解)。对于其余情况,拉格朗日证明了佩尔方程总有非平凡解。而这些解可由 n {\displaystyle {\sqrt {n}}} 的连分数求出。

佩尔方程的解

p i q i {\displaystyle {\tfrac {p_{i}}{q_{i}}}} n {\displaystyle {\sqrt {n}}} 的连分数表示: [ a 0 ; a 1 , a 2 , a 3 , ] {\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ]} 的渐近分数列,由连分数理论知存在 i {\displaystyle i} 使得(pi,qi)为佩尔方程的解。取其中最小的 i {\displaystyle i} ,将对应的 (pi,qi)称为佩尔方程的基本解,或最小解,记作(x1,y1),则所有的解(xi,yi)可表示成如下形式:

x i + y i n = ( x 1 + y 1 n ) i {\displaystyle x_{i}+y_{i}{\sqrt {n}}=(x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}})^{i}}

或者由以下的递回关系式得到:

x i + 1 = x 1 x i + n y 1 y i , {\displaystyle \displaystyle x_{i+1}=x_{1}x_{i}+ny_{1}y_{i},}
y i + 1 = x 1 y i + y 1 x i {\displaystyle \displaystyle y_{i+1}=x_{1}y_{i}+y_{1}x_{i}}

例子

标准型

x 2 7 y 2 = 1 {\displaystyle \displaystyle x^{2}-7y^{2}=1}

首先根据根号7的渐进连分数表示,找出前几项,察看(分子,分母)是否是一组解。

第一项: h k = 2 1 {\displaystyle {\tfrac {h}{k}}={\tfrac {2}{1}}} h 2 7 k 2 = 3 , {\displaystyle h^{2}-7k^{2}=-3,\,\!} 不是解;
第二项: h k = 3 1 {\displaystyle {\tfrac {h}{k}}={\tfrac {3}{1}}} h 2 7 k 2 = 2 , {\displaystyle h^{2}-7k^{2}=2,\,\!} 不是解;
第三项: h k = 5 2 {\displaystyle {\tfrac {h}{k}}={\tfrac {5}{2}}} h 2 7 k 2 = 3 , {\displaystyle h^{2}-7k^{2}=-3,\,\!} 不是解;
第四项: h k = 8 3 {\displaystyle {\tfrac {h}{k}}={\tfrac {8}{3}}} h 2 7 k 2 = 1. {\displaystyle h^{2}-7k^{2}=1.\,\!} 是解。于是最小解是(8,3)。计算 x 1 + y 1 n {\displaystyle x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}}} 的各次乘方,或者用递推公式(不能直接得出某一项)就可以得到接下来的各组解
x n = ( 8 + 3 7 ) n + ( 8 3 7 ) n 2 , y n = ( 8 + 3 7 ) n ( 8 3 7 ) n 2 7 {\displaystyle x_{n}={\frac {(8+3{\sqrt {7}})^{n}+(8-3{\sqrt {7}})^{n}}{2}},y_{n}={\frac {(8+3{\sqrt {7}})^{n}-(8-3{\sqrt {7}})^{n}}{2{\sqrt {7}}}}}
(x,y)=(8,3)、 (127,48)、 (2024,765)、 (32257,12192)、 (514088,194307)、 (8193151,3096720)、 (130576328,49353213) ......

非标准型

( x 1 2 N y 1 2 ) ( x 2 2 N y 2 2 ) = ( x 1 x 2 + N y 1 y 2 ) 2 N ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) 2 = ( x 1 x 2 N y 1 y 2 ) 2 N ( x 1 y 2 x 2 y 1 ) 2 {\displaystyle (x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}=(x_{1}x_{2}-Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})^{2}}

例如 x 2 7 y 2 = 2 {\displaystyle x^{2}-7y^{2}=2} 有解(3,1)。

r 2 7 s 2 = 1 {\displaystyle r^{2}-7s^{2}=1} 时,有 2 = ( 3 r + 7 s ) 2 7 ( 3 s + r ) 2 = ( 3 r 7 s ) 2 7 ( 3 s r ) 2 {\displaystyle 2=(3r+7s)^{2}-7(3s+r)^{2}=(3r-7s)^{2}-7(3s-r)^{2}}

(r,s)=(8,3)、 (127,48)、 (2024,765)、 (32257,12192)、 (514088,194307)、 (8193151,3096720)、 (130576328,49353213) ......

(x,y)=(3,1)、 (45,17)、 (717,271)、 (11427,4319)、 (182115,68833)、 (2902413,1097009)、 (46256493,17483311) ......

例如 5 x 2 2 y 2 = 3 {\displaystyle 5x^{2}-2y^{2}=3} 有解(1,1)。

z = 5 x {\displaystyle z=5x} ( 5 x ) 2 10 y 2 = z 2 10 y 2 = 15 {\displaystyle (5x)^{2}-10y^{2}=z^{2}-10y^{2}=15}

r 2 10 s 2 = 1 {\displaystyle r^{2}-10s^{2}=1} 时,有 15 = ( 5 r + 10 s ) 2 10 ( 5 s + r ) 2 = ( 5 r 10 s ) 2 10 ( 5 s r ) 2 {\displaystyle 15=(5r+10s)^{2}-10(5s+r)^{2}=(5r-10s)^{2}-10(5s-r)^{2}}

(r,s)=(19,6)、 (721,228)、 (27379,8658)、 (1039681,328776)、 (39480499,12484830) ......

(z,y)=(5,1)、 (35,11)、 (155,49)、 (1325,419)、 (5885,1861)、 (50315,15911)、 (223475,70669) ......

(x,y)=(1,1)、 (7,11)、 (31,49)、 (265,419)、 (1177,1861)、 (10063,15911)、 (44695,70669) ......

与代数数论的联系

佩尔方程与代数数理论有紧密联系,因为公式 x 2 n y 2 = ( x + y n ) ( x y n ) {\displaystyle x^{2}-ny^{2}=(x+y{\sqrt {n}})(x-y{\sqrt {n}})} 给出了环 Z [ n ] {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]} (即二次域 Z ( n ) {\displaystyle \mathbb {Z} ({\sqrt {n}})} )上的范数。因此(x,y)是佩尔方程的解当且仅 x + y n {\displaystyle x+y{\sqrt {n}}} 的范数是一,即是域上的一个单元。根据狄利克雷单位定理, Z [ n ] {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]} 的所有单元都可以表示为同一个基本单元的乘方形式。这就是说一个佩尔方程的所有的解都是一个基本解的乘方。单元总可以通过解一个类似佩尔方程而得到,但这时的基本解并不一定就是基本单元。

与切比雪夫多项式的联系

佩尔方程和切比雪夫多项式有内在的联系:若Ti (x)和Ui (x)分别是第一类和第二类切比雪夫多项式的相应项,那么它们是佩尔形式方程 T i 2 ( x 2 1 ) U i 1 2 = 1 {\displaystyle T_{i}^{2}-(x^{2}-1)U_{i-1}^{2}=1} 的解。于是第一类和第二类切比雪夫多项式可以通过展开基本解的乘方得到。

T i + U i 1 x 2 1 = ( x + x 2 1 ) i {\displaystyle T_{i}+U_{i-1}{\sqrt {x^{2}-1}}=(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{i}}

进一步有:如果(xi,yi)是佩尔方程的第i个解,那么

xi = Ti (x1)
yi = y1Ui - 1(x1)。

佩尔方程的最小解

nxynxynxynxy
1--33234651291697628096336377352
2323435666658989910
32135616748842596799101
4--36--68334100--
59437731269777593610120120
65238376702513010210110
7833925471348041310322752822419
8314019372172104515
9--412049320732281249267000105414
1019642132743699430106320800513115890
111034334825317526310796293
12724419930765779966301081351130
136491804516124773514010915807067198624915140424455100
141544624335358878536110212
1541474877980911129528
16--4871809111212712
1733849--81--1131204353113296
181745099148216318114102596
191703951507838291151126105
20925264990845561169801910
21551253662499100852857693099611764960
221974254485668610405112211830691728254
232455589128728311912011
2451561528819721120111
25--57151208950000153000121--
265110581960325749019212224322
27265595306991157416512312211
2812724603149211511201244620799414960
29980118206117663190492261539809312151126012593024983204
301126263894214329522106412644940
3115202736381953941274730624419775
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