在数学中,多重线性代数推广了线性代数的方法。和线性代数一样也是建立在向量的概念上,发展了向量空间的理论。在应用上,出现了许多类型的张量。该理论全面囊括了一系列空间以及它们之间的关系。

多重线性代数方式的历史背景

这个学科本身有许多不同的起源可以追溯到十九世纪的数学,但是称之为张量分析,或张量计算或张量场。张量在微分几何、广义相对论以及许多应用数学分支中的应用发展起来。大约在20世纪中叶,张量的研究转向抽象。布尔巴基学派的专著《多重线性代数》特别流行;事实上,也许“多重线性代数”便是由此发明的。

原因之一是当时在同调代数这个新领域的应用。20世纪40年代代数拓扑的发展给纯代数方式处理张量积注入了新的活力。两个空间的积同调群的计算涉及到张量积;但是只在最简单的情形,比如环面是直接算出来的(参见万有系数定理)。细微的拓扑现象要求一种更好的概念;从技术上说,需要定义Tor函子。

该材料组织得很广泛,包括追溯到赫尔曼·格拉斯曼的想法,从微分形式理论导致了德拉姆上同调中的想法,以及一些更初等的想法比如楔积(推广了叉积)。

布尔巴基将结论以相当苛刻的方式,完全拒绝向量分析中一种处理方式(四元数方法,即,在一般情形,和李群的关系)。他们转而应用一种利用范畴论的新方式,从李群处理方式的观点来看是一种独立的方法。由于这导致了一种更清晰的处理方式,它们可能在纯数学术语中没有对应物。(严格地说,涉及到泛性质方式;这似乎比范畴论更一般,而这两个交替方式的关系也在同一时间被理清了。)

事实上他们所做的是准确的解释了“张量空间”是将多重线性问题简化为线性问题的建构。这种纯代数挑战没有提供几何直观。

将问题重新表述成多重线性代数术语是有好处的,这里有清楚的和良定义的“最好解”:解的限制恰好是你事实上所需要的。一般没有必要引入任何特殊的构造,几何概念或依赖于坐标系。在范畴理论术语中,一切都是完全自然的。

抽象方法的总结

原则上抽象方法可以重新获得通过古典方法得到的一切。在实践中可能并不简单。另一方面,“自然”这一概念和广义相对论中的广义协变性原理一致。后者处理张量场(流形上逐点变化的张量),但是协变性断言张量语言对广义相对论的恰当表述是不可缺少的。

几十年以后,来自范畴论中相当抽象观点与20世纪30年代赫尔曼·外尔(在他有名的和非常难的著作《经典群》)发展的方法密切相关。在某种方式上,这使理论成为一个圆圈,再次连接了新旧两种观点。

多重线性代数议题

本文中所涉及到的题材远少于当前的发展,下面是与之密切相关的一些条目:

更多参见:张量理论术语

从应用观点看

多重线性代数以多种不同的形态出现在应用中:

数学领域
注释:数学的领域也可根据“MSC分类标准”或“中国学科分类国家标准”进行分类。
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