圆形鼓皮的理想化振动模式之一。 这些模式是函数空间上线性算子的本征函数,是泛函分析中一种常见的结构。

泛函分析(英语:Functional Analysis)是现代数学分析的一个分支,隶属于分析学,其研究的主要对象是函数构成的函数空间。泛函分析历史根源是由对函数空间的研究和对函数的变换(如傅立叶变换等)的性质的研究。这种观点被证明是对微分方程和积分方程的研究中特别有用。

使用泛函这个词作为表述源自变分法,代表作用于函数的函数,这意味着,一个函数的参数是函数。这个名词首次被雅克·阿达马在1910年使用于这个课题的书中。是泛函分析理论的主要奠基人之一。然而,泛函的一般概念以前曾在1887年是由意大利数学家和物理学家维多·沃尔泰拉(Vito Volterra)介绍。非线性泛函理论是由雅克·阿达马的学生继续研究,特别是莫里斯·弗雷歇(Maurice Fréchet)可和列维(Levy)。雅克·阿达马还创立线性泛函分析的现代流派,并由弗里杰什·里斯和一批围绕着斯特凡·巴拿赫(Stefan Banach)的波兰数学家群体英语Lwów School of Mathematics进一步发展。

赋范线性空间

从现代观点来看,泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间,巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间,其上的范数由一个内积导出。这类空间是量子力学数学描述的基础。更一般的泛函分析也研究Fréchet空间和拓扑向量空间等没有定义范数的空间。

泛函分析所研究的一个重要对象是巴拿赫空间和希尔伯特空间上的连续线性算子。这类算子可以导出C*-代数和其他算子代数的基本概念。

希尔伯特空间

主条目:希尔伯特空间

希尔伯特空间(Hilbert)可以利用以下结论完全分类,即对于任意两个希尔伯特空间,若其基的基数相等,则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言,其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言,其上的任何态射均可以分解为可数维度(基的基数为 0 {\displaystyle \aleph _{0}} )上的态射,所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是,是否对于每个希尔伯特空间上的算子,都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。

巴拿赫空间

主条目:巴拿赫空间

一般的巴拿赫空间(Banach)比较复杂,例如没有通用的办法构造其上的一组基。

对于每个实数 p {\displaystyle p} ,如果 p 1 {\displaystyle p\geq 1} ,一个巴拿赫空间的例子是“所有绝对值的 p {\displaystyle p} 次方的积分收敛的勒贝格可测函数”所构成的空间。(参看Lp空间)

在巴拿赫空间中,相当部分的研究涉及到对偶空间的概念,即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构,但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。

微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广,微分算子作用于其上的所有函数,一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。

主要结果和定理

泛函分析的主要定理包括:

泛函分析与选择公理

泛函分析所研究的大部分空间都是无穷维的。为了证明无穷维向量空间存在一组基,必须要使用佐恩引理(Zorn's Lemma)。此外,泛函分析中大部分重要定理都构建于哈恩-巴拿赫定理的基础之上,而该定理本身就是选择公理(Axiom of Choice)弱于布尔素理想定理(Boolean prime ideal theorem)的一个形式。

泛函分析的研究现状

泛函分析目前包括以下分支:

相关主题

泛函分析
集合 / 子集
  • 绝对凸集
  • 吸收集
  • 平衡集
  • 有界集 (拓扑向量空间)英语Bounded set (topological vector space)
  • 凸集
  • 径向集
  • 星形域
  • 对称集
  • 凸锥英语Convex cone
拓扑向量空间
  • 巴拿赫空间
  • 欧几里得空间
  • 希尔伯特空间
  • 局部凸英语Locally convex topological vector space
  • 赋范向量空间 (范数)
  • 拟赋范空间
  • 自反空间
  • 拓扑张量积英语Topological tensor product (希尔伯特空间中)
映射拓扑
  • 对偶空间
  • 算子拓扑英语Operator topologies
  • 弱拓扑英语Weak topology
  • 强拓扑英语Strong topology
  • 拓扑的一致收敛英语Topology of uniform convergence
线性算子
  • 伴随
  • 双线性
    • 形式
  • 有界 / 无界
  • 连续线性
  • Fredholm英语Fredholm operator
  • 希尔伯特-施密特
  • 泛函
  • 正规
  • 核型英语Nuclear operator
  • 自伴
  • 严格奇异算子英语Strictly singular operator
  • 迹类
  • 转置英语Transpose of a linear map
  • 酉 / 幺正
集合运算
  • 代数内部
  • 内部
  • 闵可夫斯基和
  • 极性集
算子理论英语Operator theory
  • 巴拿赫代数英语Banach algebra
  • C*-代数
  • 谱 (泛函分析) (谱半径)
  • 谱理论英语Spectral theory(谱定理)
  • 极分解
  • 奇异值分解
定理
  • 阿尔泽拉-阿斯科利定理
  • 巴拿赫-阿劳格鲁定理英语Banach–Alaoglu theorem
  • 巴拿赫-马祖尔定理英语Banach–Mazur theorem
  • 贝尔纲定理
  • 贝塞尔不等式
  • 柯西-施瓦茨不等式
  • 闭值域定理
  • 闭图像定理
  • 哈恩-巴拿赫定理
  • 角谷不动点定理英语Kakutani fixed point theorem
  • 不变子空间问题
  • Riesz延拓定理英语M. Riesz extension theorem
  • 开映射定理
  • 拉克斯-米尔格拉姆定理
  • 帕塞瓦尔恒等式
  • 肖德尔不动点定理英语Schauder fixed point theorem
分析
  • 导数 (加托导数
  • 泛函导数)
  • 积分 (博赫纳积分
  • 佩蒂斯积分英语Pettis integral)
  • 泛函演算英语Functional calculus (波莱尔泛函演算英语Borel functional calculus
  • 连续泛函演算英语Continuous functional calculus)
  • 反函数定理
  • 向量测度
  • 弱可测函数
数学领域
注释:数学的领域也可根据“MSC分类标准”或“中国学科分类国家标准”进行分类。
领域
  • 数理逻辑
  • 集合论
  • 范畴论
  • 代数
    • 初等
    • 线性
    • 多重线性
    • 抽象
  • 数论
  • 分析/微积分学
  • 微分方程/动态系统
  • 数学物理
  • 数理统计
  • 几何
    • 离散
    • 代数
    • 解析
    • 微分
    • 有限
  • 拓扑
  • 动力系统
  • 组合
  • 泛函分析
  • 博弈论
  • 信息论
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  • 数学教育
  • 数理逻辑
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