本文介绍的是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。关于形式为 ϕ ( q ) = k = 1 ( 1 q k ) {\displaystyle \phi (q)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})} 的函数,请见“欧拉函数 (复变函数)”。n为1至1000的整数时 φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} 的值

在数论中,对正整数n欧拉函数 φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} 是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名,它又称为φ函数(由高斯所命名)或是欧拉总计函数(totient function,由西尔维斯特所命名)。

例如 φ ( 8 ) = 4 {\displaystyle \varphi (8)=4} ,因为1,3,5,7均和8互质。

欧拉函数实际上是模n的同余类所构成的乘法群(即环 Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } 的所有单位元组成的乘法群)的阶。这个性质与拉格朗日定理一起构成了欧拉定理的证明。

历史:欧拉函数与费马小定理

1736年,欧拉证明了费马小定理:

假若 p {\displaystyle p} 为质数, a {\displaystyle a} 为任意正整数,那么 a p a {\displaystyle a^{p}-a} 可被 p {\displaystyle p} 整除。

然后欧拉予以一般化:

假若 a {\displaystyle a} n {\displaystyle n} 互质,那么 a φ ( n ) 1 {\displaystyle a^{\varphi (n)}-1} 可被 n {\displaystyle n} 整除。亦即, a φ ( n ) 1 ( mod n ) {\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}

其中 φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} 即为欧拉总计函数。如果 n {\displaystyle n} 为质数,那么 φ ( n ) = n 1 {\displaystyle \varphi (n)=n-1} ,因此,有高斯的版本[3]

假若 p {\displaystyle p} 为质数, a {\displaystyle a} p {\displaystyle p} 互质( a {\displaystyle a} 不是 p {\displaystyle p} 的倍数),那么 a p 1 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}

欧拉函数的值

φ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \varphi (1)=1} (小于等于1的正整数中唯一和1互质的数就是1本身)。

n是质数pk次幂, φ ( n ) = φ ( p k ) = p k p k 1 = ( p 1 ) p k 1 {\displaystyle \varphi (n)=\varphi (p^{k})=p^{k}-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}} ,因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质。

欧拉函数是积性函数,即是说若m,n互质, φ ( m n ) = φ ( m ) φ ( n ) {\displaystyle \varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)} 。证明:设A, B, C是跟m, n, mn互质的数的集,据中国剩余定理, A × B {\displaystyle A\times B} C {\displaystyle C} 可建立双射(一一对应)的关系。(或者也可以从初等代数角度给出欧拉函数积性的简单证明) 因此 φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} 的值使用算术基本定理便知,

n = p 1 k 1 p 2 k 2 p r k r {\displaystyle n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}}}
φ ( n ) = i = 1 r p i k i 1 ( p i 1 ) = p n p α p 1 ( p 1 ) = n p | n ( 1 1 p ) {\displaystyle \varphi (n)=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{k_{i}-1}(p_{i}-1)=\prod _{p\mid n}p^{\alpha _{p}-1}(p-1)=n\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}

其中 α p {\displaystyle \alpha _{p}} 是使得 p α {\displaystyle p^{\alpha }} 整除 n {\displaystyle n} 的最大整数 α {\displaystyle \alpha } (这里 α p i = k i {\displaystyle \alpha _{p_{i}}=k_{i}} )。

例如 φ ( 72 ) = φ ( 2 3 × 3 2 ) = 2 3 1 ( 2 1 ) × 3 2 1 ( 3 1 ) = 2 2 × 1 × 3 × 2 = 24 {\displaystyle \varphi (72)=\varphi (2^{3}\times 3^{2})=2^{3-1}(2-1)\times 3^{2-1}(3-1)=2^{2}\times 1\times 3\times 2=24}

性质

n的欧拉函数 φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} 也是循环群 Cn 的生成元的个数(也是n阶分圆多项式的次数)。Cn 中每个元素都能生成 Cn 的一个子群,即必然是某个子群的生成元。而且按照定义,不同的子群不可能有相同的生成元。此外, Cn 的所有子群都具有 Cd 的形式,其中d整除n(记作d | n)。因此只要考察n的所有因数d,将 Cd 的生成元个数相加,就将得到 Cn 的元素总个数:n。也就是说:

d n φ ( d ) = n {\displaystyle \sum _{d\mid n}\varphi (d)=n}

其中的dn的正约数。

运用默比乌斯反转公式来“翻转”这个和,就可以得到另一个关于 φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} 的公式:

φ ( n ) = d n d μ ( n / d ) {\displaystyle \varphi (n)=\sum _{d\mid n}d\cdot \mu (n/d)}

其中 μ 是所谓的默比乌斯函数,定义在正整数上。

对任何两个互质的正整数a, m(即 gcd(a,m) = 1), m 2 {\displaystyle m\geq 2} ,有

a φ ( m ) 1 ( mod m ) {\displaystyle a^{\varphi (m)}\equiv 1{\pmod {m}}}

即欧拉定理。

这个定理可以由群论中的拉格朗日定理得出,因为任意与m互质的a都属于环 Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } 的单位元组成的乘法群 Z / n Z × {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ^{\times }}

m是质数p时,此式则为:

a p 1 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}

即费马小定理。

生成函数

以下两个由欧拉函数生成的级数都是来自于上节所给出的性质: d | n φ ( d ) = n {\displaystyle \sum _{d|n}\varphi (d)=n}

φ {\displaystyle \varphi } (n)生成的狄利克雷级数是:

n = 1 φ ( n ) n s = ζ ( s 1 ) ζ ( s ) . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}.}

其中ζ(s)是黎曼ζ函数。推导过程如下:

ζ ( s ) f = 1 φ ( f ) f s = ( g = 1 1 g s ) ( f = 1 φ ( f ) f s ) {\displaystyle \zeta (s)\sum _{f=1}^{\infty }{\frac {\varphi (f)}{f^{s}}}=\left(\sum _{g=1}^{\infty }{\frac {1}{g^{s}}}\right)\left(\sum _{f=1}^{\infty }{\frac {\varphi (f)}{f^{s}}}\right)}
.                               = h = 1 ( f g = h 1 φ ( g ) ) 1 h s {\displaystyle .\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{fg=h}1\cdot \varphi (g)\right){\frac {1}{h^{s}}}}
.                               = h = 1 ( f g = h φ ( g ) ) 1 h s = h = 1 ( d | h φ ( d ) ) 1 h s {\displaystyle .\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{fg=h}\varphi (g)\right){\frac {1}{h^{s}}}=\sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{d|h}\varphi (d)\right){\frac {1}{h^{s}}}}
使用开始时的等式,就得到: h = 1 ( d | h φ ( d ) ) 1 h s = h = 1 h h s {\displaystyle \sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{d|h}\varphi (d)\right){\frac {1}{h^{s}}}=\sum _{h=1}^{\infty }{\frac {h}{h^{s}}}}
于是 h = 1 h h s = ζ ( s 1 ) {\displaystyle \sum _{h=1}^{\infty }{\frac {h}{h^{s}}}=\zeta (s-1)}

欧拉函数生成的朗贝级数如下:

n = 1 φ ( n ) q n 1 q n = q ( 1 q ) 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}}

其对于满足 |q|<1 的q收敛。

推导如下:

n = 1 φ ( n ) q n 1 q n = n = 1 φ ( n ) r 1 q r n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi (n)\sum _{r\geq 1}q^{rn}}

后者等价于:

k 1 q k n | k φ ( n ) = k 1 k q k = q ( 1 q ) 2 . {\displaystyle \sum _{k\geq 1}q^{k}\sum _{n|k}\varphi (n)=\sum _{k\geq 1}kq^{k}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}.}

欧拉函数的走势

随着n变大,估计 φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} 的值是一件很难的事。当n为质数时, φ ( n ) = n 1 {\displaystyle \varphi (n)=n-1} ,但有时 φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} 又与n差得很远。

n足够大时,有估计:

对每个 ε > 0,都有n > N(ε)使得 n 1 ε < φ ( n ) < n {\displaystyle \,n^{1-\varepsilon }<\varphi (n)<n}

如果考虑比值:

φ ( n ) / n , {\displaystyle \,\varphi (n)/n,}

由以上已经提到的公式,可以得到其值等于类似 1 p 1 {\displaystyle 1-p^{-1}} 的项的乘积。因此,使比值小的n将是两两不同的质数的乘积。由素数定理可以知道,常数 ε 可以被替换为:

C log log n / log n . {\displaystyle C\,\log \log n/\log n.}

φ {\displaystyle \varphi } 就平均值的意义上来说是与n很相近的,因为:

1 n 2 k = 1 n φ ( k ) = 3 π 2 + O ( log n n ) {\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}\varphi (k)={\frac {3}{\pi ^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {\log n}{n}}\right)}

其中的O表示大O符号。这个等式也可以说明在集合 {1, 2, ..., n} 中随机选取两个数,则当n趋于无穷大时,它们互质的概率趋于 6 / π 2 {\displaystyle 6/\pi ^{2}} 。一个相关的结果是比值 φ ( n ) / n {\displaystyle \varphi (n)/n} 的平均值:

1 n k = 1 n φ ( k
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  • S/2003 J 10是环绕木星运行的一颗卫星。概述S/2003 J 10在2003年发现,直径约两公里,离木星平均距离22371000公里,公转一圈700.129天,偏离黄道面164°(偏离木星赤道166°),离心率0.3438 ...
  •   本文介绍的是天上的星座仙后座。关于东日本旅客铁道营运的一种卧铺列车的名称,请见“仙后座 (列车)”。仙后座Cassiopeia星座仙后座恒星列表缩写Cas所有格Cassiopeiae赤经1赤纬60面积598平...
  • return {name = 'Aero',description = '航空太空科技(航空航天科技)',content = {{ type = 'text', text = [=[本页面没有类似于NoteTA的数量限制。请自行修改...
  • 水手1号发射升空 (NASA)水手号计划(英语:Mariner program,又译水手计划)是由美国太空总署所主导的太空探索计划。在此计划中发射了一系列为探索水星、金星和火星而设计的无人航天器。这个计划夺得多项第一,包括第一次...
  • 腺椒树目Perrottetia sandwicensis科学分类 界:植物界 Plantae演化支:被子植物 Angiosperms演化支:真双子叶植物 Eudicots演化支:蔷薇类植物 Rosids演化支:锦葵类植物 Malvi...
  • 十样锦,五代蜀地出产的十种织锦的统称,也是蜀锦的主要品种。十样锦是铁梗襄荷锦、天下乐锦、长安竹锦、宝界地锦、八答晕锦、宜男锦、雕团锦、狮团锦、象眼锦、方胜锦这十种织锦的统称,其中一些品种的织法流传至今。十样锦色彩缤纷,华丽大方。冯梦...
  • 结晶水合物(Crystalline Hydrate)是指含有结晶水的物质。其中的水分子属于组成结晶水合物化学性质固定的一部分。许多物质从水溶液里析出晶体时,晶体里常含有一定数目的水分子,这样的水分子叫做结晶水。含有结晶水的物质叫做结...
  • 氧化钙(生石灰)干燥剂 活性氧化铝干燥剂是指能除去潮湿物质中水分的物质,常分为两类:化学干燥剂,如硫酸钙和氯化钙等,通过与水结合生成水合物进行干燥;物理干燥剂,如硅胶与活性氧化铝等,通过物理吸附水进行干燥。湿气的管控是与产品的...
  • 中国十大风景名胜,是由《中国旅游报》于1985年发起的一项评选活动,评比过程历时半年多,内容涵盖中国大陆和台湾最为著名的十处旅游景区,包括自然景观,历史建筑,人文景观和文物古迹等,评选结果揭晓于同年9月9日。景点名单万里长城桂林山水...
  • 濠镜十景,是指昔日澳门十个优美景致,昔日美景因时代变迁部分至今巳不复存在。自1992年八个澳门社团联合发起评选,从43个澳门景点中选出的八个景点成为澳门八景,濠镜十景从此便成为历史名词。据清乾隆年间出版的《澳门纪略》,记载了广州府第...
  •   花港观鱼是一个与旅游和景观相关的小作品。你可以通过编辑或修订扩充其内容。  花港观鱼是一个与杭州相关的小作品。你可以通过编辑或修订扩充其内容。 ...
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  • 十层大山(越南语:Khoan La San/.mw-parser-output .han-nom{font-family:"Nom Na Tong","Han-Nom Gothic","Han-Nom Ming","HAN NOM ...
  • 日语写法日语原文十勝国假名とかちのくに平文式罗马字Tokachi no kuni十胜国(日语:十勝国〔十勝國〕/とかちのくに Tokachinokuni */?),是日本明治时代所划分的地方令制国,隶属于北海道。...
  • 第十管区海上保安本部原名第十管区海上保安本部简称十管、十管本部成立时间1962年1月1日类型政府机构法律地位准军事组织目标日本海岸防卫总部日本地点鹿儿岛县鹿儿岛市东郡元町4-1(鹿儿岛第2地方合同厅舎)服务地区日本九州地方之东中国海...
  • 历城区四门塔旧称泺邑、历下邑、历下城地名出处因城在历山之下概览国家 中华人民共和国隶属行政区中国山东省济南市区划类别市辖区区划代码370112乡级行政区数15个街道、6个镇- 镇数6- 街道数15地理总面积1,298.57...
  •   “邓州”重定向至此。关于中国古代的州,见“邓州 (古代)”。邓州市花洲书院概况所属国家 中华人民共和国简称邓、穰设立始年隋朝开皇三年 (583年)行政区类别县级市区划3个街道、13个镇、11个乡政府...
  • 十里堡位于山东省济南市历城区郭店镇的最东边,靠近章丘市,人口2000多。可在市区洪楼做10和319路公交车到达,路程23公里,大约需要60分钟。十里堡位于相邻的四个乡镇的中心位置,向南是孙村镇(现在已经属于开发区)向东是龙山镇,向北...
  • 十堰市十堰市火车站旧称郧阳十堰市在湖北省的地理位置概览国家 中华人民共和国省湖北省行政区类型地级市行政区划代码420300下级行政区3市辖区、4县、1县级市设立地级市1973年2月市委书记张维国人大常委会主任师永学市长陈新...
  • 《十项全能》(デカスロン)是一部日本漫画,作者是山田芳裕。1992年至1999年于周刊Young Sunday(小学馆)连载。单行本全23卷。现香港天下出版社正推出复刻版。内容是以十项全能这项运动为主题的作品。 ...
  • 《十全武功记》在清乾隆五十七年(1792年)十月,由乾隆帝亲自撰写成,自述其“十全武功”。所谓的“十全武功”是指《十全记》所说的:“平准噶尔为二,定回部为一,扫金川为二,靖台湾为一,降缅甸、安南各一,即今二次受廓尔喀降合为十。”乾隆...
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  • 十通《通典》《通志》《文献通考》《续通典》《续通志》《续文献通考》《清朝通典》《清朝通志》《清朝文献通考》《清朝续文献通考》十通,是《通典》、《通志》、《文献通考》、《续通典》、《续通志》、《续文献通考》、《清朝通典》、《清朝通志》...
  • 千纪:3千纪世纪:20世纪 | 21世纪 | 22世纪年代:1970年代 | 1980年代 | 1990年代 | 2000年代 | 2010年代 | 2020年代 | 2030年代年份:2002年 | 2003年 | 2004年 |...
  • 提名第27届香港电影金像奖最佳新演员锺嘉欣奖项第27届香港电影金像奖最佳原创电影歌曲〈逼得太紧〉(主唱:吴雨霏)歌曲主题曲:〈逼得太紧〉 - 吴雨霏插曲:〈两个世界〉 - 胡清蓝〈亲近对.亲热错〉 - 方力申〈日久生情〉 - 邓丽欣...
  • 广东十虎与后五虎Ten Tigers of Kwangtung基本资料导演张彻监制邵逸夫制片方逸华编剧张彻 倪匡主演狄龙 傅声 钱小豪 龙天翔配乐王居仁摄影曹惠琪剪辑姜兴隆 李炎海制片商邵氏兄弟(香港)有限公司片长91 分...
  • 千纪:3千纪世纪:20世纪 | 21世纪 | 22世纪年代:1970年代 | 1980年代 | 1990年代 | 2000年代 | 2010年代 | 2020年代 | 2030年代年份:1999年 | 2000年 | 2001年 |...
  • 数字拳,又称“五、十、十五、二十”,简称“五、十、十五”、又称“十五、二十”,是一种民间的猜拳游戏,源于“酒拳”,通常在喝酒时玩。规则这个游戏通常是两个人玩,每个人可出“零”(双手握拳)、“五”(伸出一手手掌,另手握拳)、“十”(双...
  • 卡通频道工作室Cartoon Network Studios公司类型子公司公司前身汉纳巴伯拉动画成立1994年10月21日,​24年前​(1994-10-21)代表人物Mark Costa (VP, li...
  • 日语写法日语原文十時 連久假名ととき つれひさ平文式罗马字Totoki Tsurehisa十时连久(天文20年?(1551年?)-文禄2年(1593年)),日本战国时代、安土桃山时代的武将。通称传右卫门,一名惟道。十时惟长次子、十时...
  • 日语写法日语原文十時 連貞假名ととき つれさだ平文式罗马字Totoki Tsuresada十时连贞(弘治3年(1556年)-宽永21年(1644年)),日本战国时代、安土桃山时代的武将。通称摄津守,孙右卫门、晚年号雪斋。十时惟次次子...
  • 日语写法日语原文高野 素十假名たかの すじゅう平文式罗马字Takano Suhjyuu日语写法日语原文高野 与巳假名たかの よしみ平文式罗马字Takano Yoshimi高野 素十(高野 素十、、1893年3月3日-1976年10月...
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