若素数 p 2 | 2 p 1 1 {\displaystyle p^{2}|2^{p-1}-1} ,则称为维费里希素数(Wieferich prime)。它最先在1909年阿图尔·维费里希(Arthur Wieferich)有关费马大定理的作品描述。

1909年,维费里希证明: x , y , z {\displaystyle x,y,z} 是整数同时 p {\displaystyle p} 是质数使得 x p + y p + z p = 0 {\displaystyle x^{p}+y^{p}+z^{p}=0} ,并且 p x y z {\displaystyle p\nmid xyz} ,那么 p {\displaystyle p} 就是维费里希素数。

1910年Mirimanoff扩展这个定理,证明了若 p {\displaystyle p} 符合上面的条件, p | 3 p 1 {\displaystyle p|3^{p-1}}

梅森数 M q = 2 q 1 {\displaystyle M_{q}=2^{q}-1} 的质因数 p {\displaystyle p} 是维费里希素数当且仅当 p 2 | 2 q 1 {\displaystyle p^{2}|2^{q}-1} ,显然,梅森质数不可能是维费里希素数。

寻找

现时已知的维费里希素数只有1093和3511(OEIS:A001220),由W. Meissner在1913年和N. G. W. H. Beeger在1922年各自发现。若有更大的存在,它必须大于 1.25 × 10 15 {\displaystyle 1.25\times 10^{15}} [1][永久失效链接]。虽然1988年J. H. Silverman证明若abc猜想成立,对于任何正整数 a > 1 {\displaystyle a>1} ,存在无限个质数 p {\displaystyle p} 使得 p 2 a p 1 1 {\displaystyle p^{2}\nmid a^{p-1}-1} ;但“维费里希素数的数量有限”这个猜想仍未证实。

www.zuoweixin.com
问题反馈联系QQ:暂无联系方式,也可发qq邮箱。