在群论这一数学的分支里,这一词被使用在两个相关连的意义上:

一个群G的阶被标记为ord(G)或|G|,而一个元素的阶则标记为ord(a)或|a|。

例子

例子:包含三个物件的所有置换之对称群S3会有下面的乘法表。

·estuvw
eestuvw
ssevwtu
ttueswv
uutwves
vvwseut
wwvutse

这个群有六个元素,所以ord(S3) = 6。以定义可知,单位元素e的阶为1。stw的平方都为e,所以这些群元素的阶都为2。剩下的,uv的阶为3,因为u = vu = vu = e,而v = uv = uv = e

阶和结构

由一个群或其内之元素的阶可以大致知道群的结构。简略地说,阶的因式分解越复杂,这个群就会越复杂。

若群G的阶为1,则这个群称为平凡群。给定一元素a,则ord(a) = 1当且仅当a为其单位元素。若G内的每一个(非单位)元素和其逆元素相同(故a = e),则ord(a) = 2且因此G会是个阿贝尔群,因为ab=(bb)ab(aa)=b(ba)(ba)a=ba。此一叙述的相反不一定为对;例如,整数同余6之(加法)循环群Z6为可换的,但数字2的阶为3(2+2+2 = 6 ≡ 0 (mod 6))。

阶两种概念之间的关系如下:若给出一个由a产生之子群

a = { a k : k Z } {\displaystyle \langle a\rangle =\{a^{k}:k\in \mathbb {Z} \}}

ord ( a ) = ord ( a ) . {\displaystyle \operatorname {ord} (a)=\operatorname {ord} (\langle a\rangle ).}

对于任一个整数k,会有“ak = e   当且仅当   ord(a) 整除 k”之关系。

一般来说,G的每个子群之阶都会整除G的阶。更精确地来说:若HG的一个子群,则

ord(G) / ord(H) = [G : H]

,其中[G:H]是于G内的H之指标,为一整数。此为拉格朗日定理

上述会有一个立即的结论为,一个群的每一个元素之阶都会整除此一群的阶。例如,在上面所示之对称群中,ord(S3) = 6,且其内元素的阶分别为1、2或3。

下面的部分相反对有限群为真:若d会整除一个群G的阶且d为一个质数,则存在一个内G内为d阶的元素(这有时被称为柯西定理)。此一叙述在其阶为合数时并不成立,如克莱因四元群中即不存在一个4阶的元素。这可以用数学归纳法来证明[1]。这个定理的结论包括:一个群G的阶为一个质数p的次方当且仅当对每个在G内的a,ord(a)都是p的某个次方[2]。

a有无限阶,则a的所有次方也都会有无限阶。若a有有限阶,则对于a的次方的阶会有下列的公式:

ord(ak) = ord(a) / gcd(ord(a), k)。

特别地是,a和其逆元素a会有相同的阶。

并不存在一个将ab的阶关连到其乘积ab的阶之一般公式。ab都有着有限阶而ab则有着无限阶的情形还是有可能的。若ab=ba,则至少可知ord(ab)会整除lcm(ord(a),ord(b))。其结论可证明在一个有限阿贝尔群中,若m为所有群元素的阶之中的最大值,则每一个元素的阶都会整除m

用元素的阶来计数

G是一个有n阶的有限群,且dn的因数,则G内有d阶的元素个数会为φ(d)的倍数,其中φ为欧拉函数,为不大于d且互质于d的正整数之个数。例如,在S3的例子中,φ(3) =2,且确实有恰好两个3阶的元素。这个定理对为2阶之元素没有什么有用的资讯,因为φ(2) = 1。

与同态的关系

群同态会缩减元素的阶:若fG → H是一个同态,且aG内一个有限阶的元素,则ord(f(a))会整除ord(a)。若f为单射的,则ord(f(a)) = ord(a)。这通常可以被用来证明在两个给定之离散群中不存在(单射)同态。(例如,不存在一个非当然同态h: S3 → Z5,因为每个在Z5内除了0之外的元素都有着5阶,而不可以整除在S3内有1、2、3阶的元素。)更进一步的结论有共轭元素会有相同的阶。

类方程

一个关于阶的重要结论为类方程;其将有限群G的阶连结至其中心Z(G)的阶和其非当然共轭类的多寡:

| G | = | Z ( G ) | + i d i {\displaystyle |G|=|Z(G)|+\sum _{i}d_{i}\;}

其中di为非当然共轭类的多寡;其为|G|大于1的纯因数,且会相等于某些G的非当然纯子群的指标。例如,S3的中心为只有单位元素e之当然群,而此方程则读做|S3| = 1+2+3。

公开的问题

一些有关群和其元素较深的问题包含在伯恩赛德问题里;有些的问题至今仍然未解。

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