在交换代数中,准素分解将一个交换环的理想(或模的子模)唯一地表成准素理想(或准素子模)之交。这是算术基本定理的推广,能用以处理代数几何中的情况。

陈述

R {\displaystyle R} 为交换诺特环, M {\displaystyle M} 为有限生成之 R {\displaystyle R} -模。对任一子模 N M {\displaystyle N\subset M} ,存在有限多个准素子模 M i {\displaystyle M_{i}} 使得

N = i M i {\displaystyle N=\bigcap _{i}M_{i}}

事实上,可以要求此分解是最小的(即:无法省去任何 M i {\displaystyle M_{i}} ),且诸准素子模 M i {\displaystyle M_{i}} 对应到的素理想彼此相异。满足上述条件的准素分解是唯一确定的。

最常见的情形是取 M = R {\displaystyle M=R} ,并取 N = I {\displaystyle N=I} 为一理想。任取一准素分解 I = i Q i {\displaystyle I=\bigcap _{i}Q_{i}} ,这些 Q i {\displaystyle Q_{i}} 中的极小者称为 I {\displaystyle I} 孤立素理想,否则称为镶嵌素理想;孤立素理想是 I R {\displaystyle I\subset R} 的一组不变量。

几何意义

在几何上, I {\displaystyle I} 的孤立素理想对应到仿射概形 S p e c ( R ) {\displaystyle \mathrm {Spec} (R)} 的闭子集 V ( I ) {\displaystyle V(I)} 之不可约成分。

历史

伊曼纽·拉斯克在1905年证明了 R {\displaystyle R} 为多项式环的情形。埃米·诺特在1921年证明上述的推广版本。职是之故,准素分解的存在性也被称为拉斯克-诺特定理

文献

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