未解决的数学问题:是否有无穷个正则素数,且其分布密度为 e 1 / 2 {\displaystyle e^{-1/2}}

在数论中,正则素数的概念首先由恩斯特·库默尔在1847年为了处理费马最后定理而引入。它具有许多种等价的定义方式。其中之一是:

定义. 素数 p {\displaystyle p} 是正则素数,当且仅当 p {\displaystyle p} 不整除分圆域 Q ( ζ p ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})} 的类数。

此定义美则美矣,却不容易计算。另一种定义方式是:素数 p {\displaystyle p} 是正则素数,当且仅当 p {\displaystyle p} 不整除伯努利数 B k ( 2 k p 3 , 2 | k ) {\displaystyle B_{k}\quad (2\leq k\leq p-3,2|k)} 的分子。

头几个正则素数为:

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, ... (OEIS中的数列A007703)

库默尔证明了:当 p {\displaystyle p} 是正则素数时, x p + y p = z p {\displaystyle x^{p}+y^{p}=z^{p}} 不存在非零整数解。最小的10个非正则素数是 37、59、67、101、103、131、149、157、233、257(OEIS中的数列A000928)。已知存在无穷多个非正则素数,而迄今仍未知是否存在无穷多个正则素数。

文献

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