复平面上的三次单位根

数学上, n {\displaystyle n\,} 次单位根 n {\displaystyle n\,} 次幂为1的复数。它们位于复平面的单位圆上,构成正n边形的顶点,其中一个顶点是1。

定义

z n = 1 ( n = 1 , 2 , 3 , ) {\displaystyle z^{n}=1\qquad (n=1,2,3,\cdots )}

这方程的复数根 z {\displaystyle z\,} n {\displaystyle n\,} 次单位根

单位的 n {\displaystyle n\,} 次根有 n {\displaystyle n\,} 个:

e 2 π k i n ( k = 0 , 1 , 2 , , n 1 ) {\displaystyle e^{\frac {2\pi k{i}}{n}}\qquad (k=0,1,2,\cdots ,n-1)}

本原根

单位的 n {\displaystyle n\,} 次根以乘法构成 n {\displaystyle n} 阶循环群。它的生成元是 n {\displaystyle n\,} 本原单位根。 n {\displaystyle n\,} 次本原单位根是 e 2 π k i n {\displaystyle e^{\frac {2\pi k{i}}{n}}} ,其中 k {\displaystyle k\,} n {\displaystyle n\,} 互质。 n {\displaystyle n\,} 次本原单位根数目为欧拉函数 φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)}

例子

一次单位根有一个 1 {\displaystyle 1\,}

二次单位根有两个: + 1 {\displaystyle +1\,} 1 {\displaystyle -1\,} ,只有 1 {\displaystyle -1\,} 是本原根。

三次单位根是

{ 1 , 1 + 3 i 2 , 1 3 i 2 } , {\displaystyle \left\{1,{\frac {-1+{\sqrt {3}}{i}}{2}},{\frac {-1-{\sqrt {3}}{i}}{2}}\right\},}

其中 i {\displaystyle {\mathrm {i} }\,} 是虚数单位;除 1 {\displaystyle 1\,} 外都是本原根。

四次单位根是

{ 1 , + i , 1 , i } , {\displaystyle \left\{1,+{i},-1,-{i}\right\},}

其中 + i {\displaystyle +{\mathrm {i} }\,} i {\displaystyle -{\mathrm {i} }\,} 是本原根。

和式

n {\displaystyle n\,} 不小于 2 {\displaystyle 2\,} 时, n {\displaystyle n\,} 次单位根总和为 0 {\displaystyle 0\,} 。这一结果可以用不同的方法证明。一个基本方法是等比级数:

k = 0 n 1 e 2 π k i n = e 2 π k n i n 1 e 2 π i n 1 = 1 1 e 2 π i n 1 = 0 {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}e^{\frac {2\pi k{i}}{n}}={\frac {e^{\frac {2\pi k{n}i}{n}}-1}{e^{\frac {2\pi {i}}{n}}-1}}={\frac {1-1}{e^{\frac {2\pi {i}}{n}}-1}}=0}

第二个证法是它们在复平面上构成正多边形的顶点,而从对称性知这多边形的重心在原点。

还有一个证法利用关于方程根与系数的韦达定理,由分圆方程的 x n 1 {\displaystyle x^{n-1}\,} 项系数为零得出。

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