在交换代数中,可以探讨一个交换环 R {\displaystyle R} 本身,或一个 R {\displaystyle R} -模对一理想 I R {\displaystyle I\subset R} 的完备性。由于完备环有较容易处理的性质,完备化是研究交换环的基本工具。

几何上,交换环的完备化对应到一个闭子概形的形式邻域。

I-进拓扑

对于一个交换环 R {\displaystyle R} 及其理想 I {\displaystyle I} (通常取为极大理想),可以借着取 I n ( n N ) {\displaystyle I^{n}\;(n\in \mathbb {N} )} 为零元的开邻域,赋予 R {\displaystyle R} 相应的拓扑结构,使之成为对加法的拓扑群。这种拓扑称为 I {\displaystyle I} -进拓扑

对于一个 R {\displaystyle R} -模 M {\displaystyle M} ,同样可考虑零元的开邻域 I n M {\displaystyle I^{n}M} ,由此得到 M {\displaystyle M} 上的 I {\displaystyle I} -进拓扑。

完备化及其性质

M {\displaystyle M} I R {\displaystyle I\subset R} 完备化定义为射影极限:

M ^ := lim n M / I n M {\displaystyle {\hat {M}}:=\varprojlim _{n}M/I^{n}M}

正如其名, M ^ {\displaystyle {\hat {M}}} 对其 I {\displaystyle I} -进拓扑是完备的。对于固定的 I R {\displaystyle I\subset R} M M ^ {\displaystyle M\mapsto {\hat {M}}} 是从 R {\displaystyle R} -模范畴(态射为模同态)到 I {\displaystyle I} -进拓扑 R {\displaystyle R} -模(态射为连续同态)的函子;透过自然同态 M M ^ {\displaystyle M\to {\hat {M}}} ,它是与之反向的遗忘函子的左伴随函子,因而是右正合的。

对于诺特环, R ^ {\displaystyle {\hat {R}}} 是平坦的 R {\displaystyle R} -模。此时,对任何有限生成 R {\displaystyle R} -模 M {\displaystyle M} ,自然态射 M ^ M R R ^ {\displaystyle {\hat {M}}\to M\otimes _{R}{\hat {R}}} 是个同构。综上所述,对于诺特环 R {\displaystyle R} 上的有限生成 R {\displaystyle R} -模,完备化是个正合函子。

此外,完备化也可以用柯西序列构造,得到的对象是自然同构的。

例子

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