莫比乌斯-坎特八边形
4个红色三角形和4个蓝色三角形分别代表其8条三元边
类型八边形
8 3{}
顶点8
施莱夫利符号3{3}3
考克斯特图英语Coxeter diagram
对称群3[3]3英语Binary_tetrahedral_group, order 24 (谢泼德群)
对偶自身对偶
特性正、复

在几何学中,莫比乌斯-坎特八边形是一个复正多边形,其位于 C 2 {\displaystyle \mathbb {C} ^{2}} 复希尔伯特平面中由八个顶点和八个三元棱组成,是一个自身对偶的多边形。考克斯特将其命名为莫比乌斯-坎特八边形,用于共享复排布英语Complex configuration结构,如莫比乌斯-坎特排布英语Möbius–Kantor configuration

这种形状由杰弗里·科林·谢泼德英语Geoffrey Colin Shephard于1952年发现,其将此形状根据其对称性以3(24)3表示,考克斯特将这种对称性计为3[3]3,其与24阶的二元四面体群英语Binary_tetrahedral_group同构。

性质

莫比乌斯-坎特八边形是一种由8个顶点和8条棱所组成的几何结构,其在施莱夫利符号中可以用3{3}3来表示、在考克斯特记号中可以用来表示。与一般的八边形不同,莫比乌斯-坎特八边形位于复希尔伯特平面,且构成这种形状的棱每个棱阶连接了三个顶点,称为三元棱或三元边(Trion),这种几何结构在施莱夫利符号中可以用3{}来表示。

顶点座标

莫比乌斯-坎特八边形可以于 C 3 {\displaystyle \mathbb {C} ^{3}} 空间中给出,其为:

(ω,−1,0)(0,ω,−ω)(ω,−1,0)(−1,0,1)
(−ω,0,1)(0,ω,−ω)(−ω,0,1)(1,−1,0)

其中 ω = 1 + i 3 2 {\displaystyle \omega ={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}}

作为一种排布

莫比乌斯-坎特八边形3{3}3排布矩阵英语Configuration_(polytope)为:

[ 8 3 3 8 ] {\displaystyle \left[{\begin{matrix}8&3\\3&8\end{matrix}}\right]}

实空间的代表

在实空间中,莫比乌斯-坎特八边形可以用四维空间的正十六胞体来代表,其共用了相同的8个顶点。当莫比乌斯-坎特八边形的8条三元边被绘制为三条独立的边时,即可在当莫比乌斯-坎特八边形中观察到正十六胞体的24条边。在下图中这8个三角形被以每个个分成一组,分别涂上蓝色和红色。下图中,B4投影在两个颜色组之间以两个拥有不同对称性的方向进行投影。此外,所代表的实空间形状也可以是一个β4的四维正轴形。

正投影图
考克斯特平面B4F4
对称性[8][12/3]
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