数学上局部域是一类特别的域,它有非平凡的绝对值,此绝对值赋予的拓扑是局部紧的。局部域可粗分为两类:一种的绝对值满足阿基米德性质(称作阿基米德局部域),另一种的绝对值不满足阿基米德性质(称作非阿基米德局部域)。在数论中,数域的完备化给出局部域的典型例子。

非阿基米德局部域

F {\displaystyle F} 为非阿基米德局部域,而 | | {\displaystyle |\cdot |} 为其绝对值。关键在下述对象:

上述对象与赋值环的构造相呼应;事实上,可证明必存在实数 0 < c < 1 {\displaystyle 0<c<1} 及离散赋值 v : F × Z {\displaystyle v:F^{\times }\rightarrow \mathbb {Z} } ,使得

a F c v ( a ) = | a | {\displaystyle \forall a\in F\;c^{v(a)}=|a|} .

可取唯一的 c {\displaystyle c} 使得 v {\displaystyle v} 为满射,称之为正规化赋值

从此引出非阿基米德局部域的另一个等价定义:一个域 F {\displaystyle F} ,带离散赋值 v : F × Z {\displaystyle v:F^{\times }\rightarrow \mathbb {Z} } ,使得 F {\displaystyle F} 成为完备的拓扑域,而且剩余域有限。

这类局部域的行为可由局部类域论描述。

分类

局部域的完整分类如次:

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