在数论中,积性函数是指一个定义域为正整数n 的算术函数f(n),有如下性质:f(1) = 1,且当ab 互质时,f(ab) = f(a) f(b)

若一个函数f(n) 有如下性质:f(1) = 1,且对两个随意正整数ab 而言,不只限这两数互质时,f(ab) = f(a)f(b) 都成立,则称此函数为完全积性函数。

在数论以外的其他数学领域中所谈到的积性函数通常是指完全积性函数。此条目则只讨论数论中的积性函数

例子

性质

积性函数的值完全由质数的幂决定,这和算术基本定理有关。即是说,若将n表示成质因数分解式如 p 1 a 1 p 2 a 2 . . . p k a k {\displaystyle {p_{1}}^{a_{1}}{p_{2}}^{a_{2}}...{p_{k}}^{a_{k}}} ,则 f ( n ) = f ( p 1 a 1 ) f ( p 2 a 2 ) . . . f ( p k a k ) {\displaystyle f(n)=f({p_{1}}^{a_{1}})f({p_{2}}^{a_{2}})...f({p_{k}}^{a_{k}})}

f为积性函数且 f ( p n ) = f ( p ) n {\displaystyle f(p^{n})=f(p)^{n}} ,则f为完全积性函数。

狄利克雷卷积

两个积性函数的狄利克雷卷积必定是积性函数。因此,以卷积为群的运算,所有积性函数组成了一个子群。但注意两个完全积性函数的卷积未必是完全积性的。

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