注意 log b ( 0 ) {\displaystyle \log _{b}(0)\!\,} 无定义,因为没有一个数 x {\displaystyle x\!\,} 使 b x = 0 {\displaystyle b^{x}=0\!\,} 成立。

微积分恒等式

极限

lim x 0 + log a x = if  a > 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{if }}a>1}
lim x 0 + log a x = if  a < 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{if }}a<1}
lim x log a x = if  a > 1 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{if }}a>1}
lim x log a x = if  a < 1 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{if }}a<1}
lim x 0 + x b log a x = 0 {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0}
lim x 1 x b log a x = 0 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{1 \over x^{b}}\log _{a}x=0}

最后一个极限经常被总结为“ x {\displaystyle x} 的对数增长得比 x {\displaystyle x} 的任何次方或方根都慢”。

注意:说函数的极限“等于无穷大”是不严密的,因为“无穷大”不是数。上面右边是无穷大的等式的意思是,函数可以无限制的增加/减少。

对数函数的导数

d d x ln x = 1 x = ln e x {\displaystyle {d \over dx}\ln x={1 \over x}={\ln e \over x}}

积分定义

ln x = 1 x 1 t d t {\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt}

对数函数的积分

log a x d x = x ( log a x log a e ) + C {\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C}

为了记忆积分,可以方便的定义:

x [ n ] = x n ( log ( x ) H n ) {\displaystyle x^{\left[n\right]}=x^{n}(\log(x)-H_{n})}
x [ 0 ] = log x {\displaystyle x^{\left[0\right]}=\log x}
x [ 1 ] = x log ( x ) x {\displaystyle x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x}
x [ 2 ] = x 2 log ( x ) 3 2 x 2 {\displaystyle x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}\,x^{2}}
x [ 3 ] = x 3 log ( x ) 11 6 x 3 {\displaystyle x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}\,x^{3}}

于是,

d d x x [ n ] = n x [ n 1 ] {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=n\,x^{\left[n-1\right]}}
x [ n ] d x = x [ n + 1 ] n + 1 + C {\displaystyle \int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C}

求大数的近似数

对数恒等式可以用来求大数的近似数。假设我们要得到第44个梅森质数 2 32582657 1 {\displaystyle 2^{32582657}-1} 的近似值。先取对数( 1 {\displaystyle -1} 被忽略), 2 32582657 {\displaystyle 2^{32582657}} 以10为底的对数等于 32,582,657 与 log 10 ( 2 ) {\displaystyle \log _{10}(2)} 的乘积,计算得到 9808357.09543 = 9808357 + 0.09543 {\displaystyle 9808357.09543=9808357+0.09543} 。再取指数消去对数,得到最后结果为 10 9808357 × 10 0.09543 1.25 × 10 9808357 {\displaystyle 10^{9808357}\times 10^{0.09543}\approx 1.25\times 10^{9808357}} .

类似地,阶乘的结果可以用每项的对数之和来近似。

www.zuoweixin.com
问题反馈联系QQ:暂无联系方式,也可发qq邮箱。