单位又被称为可逆元。在数学里,于一(有单位的)环 R {\displaystyle R\,} 内的可逆元是指一 R {\displaystyle R\,} 的可逆元,即一元素 u {\displaystyle u\,} 使得存在一于 R {\displaystyle R\,} 内的 v {\displaystyle v\,} 有下列性质: u v = v u = 1 R {\displaystyle uv=vu=1_{R}\,} ,其中 1 R {\displaystyle 1_{R}\,} 是乘法单位元。

亦即, u {\displaystyle u\,} R {\displaystyle R\,} 内乘法幺半群的一可逆元素。

可逆元群

R {\displaystyle R\,} 的可逆元组成了一于乘法下的群 U ( R ) {\displaystyle U(R)\,} ,称做 R {\displaystyle R\,} 可逆元群。可逆元群U(R)有时亦被标记成RR

在一可交换单作环R内,可逆元群U(R)以乘法作用于R上头。此一作用的轨道(orbit)被称为结合集合;换句话说,存在一于R上的等价关系 ~ ,且当r~s时,表示存在一可逆元u使得r=us

U是一由环范畴至群范畴的函子:每一个环同态 f : RS 都可导出一群同态U(f) : U(R) → U(S),当f会将可逆元映射至可逆元时。此一函数子有为整数群环结构的左伴随。

一个环R是一个除环当且仅当R = R \ {0}。

例子

二元运算的性质
闭包(封闭律) · 分配律 · 零因子 · 吸收律 · 幂等律 · 幂零律
结合性结合律 · 幂结合性
交错性交换律 · 反交换律
单位元加法单位元 · 乘法单位元 · 有单位的
逆元素加法逆元 · 乘法逆元
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