符号函数
性质
奇偶性 奇函数
定义域 (-∞,∞)
到达域 sgn x { 1 , 0 , 1 } {\displaystyle \operatorname {sgn} x\in \{-1,0,1\}}
周期 N/A
特定值
当x=0 0
当x=+∞ 1
当x=-∞ -1
最大值 1
最小值 -1
其他性质
渐近线 N/A
0
临界点 N/A
拐点 N/A
不动点 0,1,-1
符号函数的微分符号函数(蓝色)、符号函数的微分(橘色),其中,符号函数的微分正好是2倍的狄拉克δ函数。

符号函数Sign function,简称sgn)是一个逻辑函数,用以判断实数的正负号。为避免和英文读音相似的正弦函数(sine)混淆,它亦称为Signum function。其定义为:

sgn x = { 1 : x < 0 0 : x = 0 1 : x > 0 {\displaystyle \operatorname {sgn} x=\left\{{\begin{matrix}-1&:&x<0\\0&:&x=0\\1&:&x>0\end{matrix}}\right.}

性质

用艾佛森括号定义:

sgn x = [ x < 0 ] + [ x > 0 ] {\displaystyle \operatorname {sgn} x=-[x<0]+[x>0]}

任何实数都可以表示为其绝对值和符号函数的积:

x = ( sgn x ) | x | {\displaystyle x=(\operatorname {sgn} x)|x|}

若x不为零,可以由上式得出符号函数的另一个定义:

sgn x = x | x | {\displaystyle \operatorname {sgn} x={x \over |x|}}

符号函数是绝对值函数的导数:

d | x | d x = x | x | = sgn x {\displaystyle {\frac {d|x|}{dx}}={\frac {x}{|x|}}=\operatorname {sgn} x}

除了在0,符号函数可微分,其导数为0。透过一般化微分概念,可以说符号函数的导数是狄拉克δ函数的两倍:

d   sgn x d x = 2 δ ( x ) {\displaystyle {d\ \operatorname {sgn} x \over dx}=2\delta (x)}

它和单位步阶函数的关系:

sgn x = 2 H 1 / 2 ( x ) 1 {\displaystyle \operatorname {sgn} x=2H_{1/2}(x)-1}

推广到复数

符号函数可以推广到复数:对于任意 z C { 0 } {\displaystyle z\in \mathbb {C} \backslash \{0\}}

sgn z = z | z | {\displaystyle \operatorname {sgn} z={\frac {z}{|z|}}}

对于任何z C {\displaystyle \mathbb {C} } ,除了z = 0以外。复数z的符号函数,是复平面上中心为原点的单位圆上距离z最近的点。那么,对于z ≠ 0,有:

sgn z = exp ( i arg z ) , {\displaystyle \operatorname {sgn} z=\exp(i\arg z)\,,}

其中arg表示辐角。
出于对称的原因,并且为了实现对实数的符号函数的适当推广,对于z = 0,也常常在复数域中定义:

sgn 0 = sgn ( 0 + 0 i ) = 0. {\displaystyle \operatorname {sgn} 0=\operatorname {sgn}(0+0i)=0.}

符号函数在复数范围的另外一个推广是csgn函数,定义为:

csgn ( z ) = { 1 if  ( z ) > 0 ( ( z ) = 0 ( z ) > 0 ) , 1 if  ( z ) < 0 ( ( z ) = 0 ( z ) < 0 ) , 0 if  ( z ) = ( z ) = 0. {\displaystyle \operatorname {csgn} (z)={\begin{cases}1&{\text{if }}\Re (z)>0\lor (\Re (z)=0\land \Im (z)>0),\\-1&{\text{if }}\Re (z)<0\lor (\Re (z)=0\land \Im (z)<0),\\0&{\text{if }}\Re (z)=\Im (z)=0.\end{cases}}}

即是在一四象限及 y 轴正半轴为正一、二三象限及 y 轴负半轴为负一、原点为零。
对于 csgn,我们有(除了z = 0以外):

csgn ( z ) = z z 2 = z 2 z . {\displaystyle \operatorname {csgn} (z)={\frac {z}{\sqrt {z^{2}}}}={\frac {\sqrt {z^{2}}}{z}}.}
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