单位阶跃函数,又称赫维赛德阶跃函数,定义如下:

H [ n ] = { 0 , n < 0 , 1 , n 0 , {\displaystyle H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\1,&n\geq 0,\end{cases}}}

另一种定义为:

H ( x ) = { 0 , x < 0 1 2 , x = 0 1 , x > 0 {\displaystyle H(x)={\begin{cases}0,&x<0\\{\frac {1}{2}},&x=0\\1,&x>0\end{cases}}}

H ( x ) = 1 2 ( 1 + sgn ( x ) ) {\displaystyle H(x)={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {sgn} (x)\right)}

它是个不连续函数,其“微分”是狄拉克δ函数。它是一个几乎必然是零的随机变数的累积分布函数。

事实上, x = 0 {\displaystyle x=0} 的值在函数应用上并不重要,可以任意取。

这个函数由奥利弗·赫维赛德提出。

连续函数逼近

积分表示

H ( x ) = lim ε 0 + 1 2 π i 1 τ + i ε e i x τ d τ = lim ε 0 + 1 2 π i 1 τ i ε e i x τ d τ . {\displaystyle {\begin{aligned}H(x)&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau +i\varepsilon }}e^{-ix\tau }d\tau \\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau -i\varepsilon }}e^{ix\tau }d\tau .\end{aligned}}}
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