在抽象代数中,分式环分式域是包含一个整环的最小域,典型的例子是有理数域之于整数环。此外分式环也可以推广到一般的交换环,此时通常称作全分式环

分式环有时也被称为商域,但此用语易与商环混淆。

构造

分式环是局部化的一个简单特例。以下设 R {\displaystyle R} 为一个整环,而 S := R { 0 } {\displaystyle S:=R-\{0\}}

在集合 R × S {\displaystyle R\times S} 上定义下述等价关系 {\displaystyle \sim }

( r , s ) ( r , s ) r s r s = 0 {\displaystyle (r,s)\sim (r',s')\iff rs'-r's=0}

等价类 [ r , s ] {\displaystyle [r,s]} 可以想成“分式” r / s {\displaystyle r/s} ,上述等价关系无非是推广有理数的通分;借此类比,在商集 ( R × S ) / {\displaystyle (R\times S)/\sim } 上定义加法与乘法为:

[ r , s ] + [ r , s ] = [ r s + r s , s s ] {\displaystyle [r,s]+[r',s']=[rs'+r's,ss']}
[ r , s ] [ r , s ] = [ r r , s s ] {\displaystyle [r,s][r',s']=[rr',ss']}

可验证上述运算是明确定义的。此外还有环同态 R ( R × S ) / {\displaystyle R\rightarrow (R\times S)/\sim } ,定义为 r [ r , 1 ] {\displaystyle r\mapsto [r,1]} ;这是一个单射。于是可定义分式环 T ( R ) := ( R × S ) / {\displaystyle T(R):=(R\times S)/\sim } ,再配上上述的加法与乘法运算。在实践上,我们常迳将 T ( R ) {\displaystyle T(R)} 里的元素写作分式 r / s {\displaystyle r/s}

泛性质

整环 R {\displaystyle R} 的分式环 K ( R ) {\displaystyle K(R)} 及其自然环同态 R K ( R ) {\displaystyle R\rightarrow K(R)} 满足以下的泛性质:

对任何环 T {\displaystyle T} 及环同态 ϕ : R T {\displaystyle \phi :R\rightarrow T} ,若 R { 0 } {\displaystyle R-\{0\}} 中的元素在 ϕ {\displaystyle \phi } 下的像皆可逆,则存在唯一的环同态 ψ : T ( R ) T {\displaystyle \psi :T(R)\rightarrow T} ,使得 ϕ {\displaystyle \phi } R T ( R ) {\displaystyle R\rightarrow T(R)} ψ {\displaystyle \psi } 的合成。

此性质不外是形式地表达了“K(R) 是包含 R 的最小的域”这个陈述。据此泛性质可形式地证明:任何一组资料 ( K , ϕ : R T ) {\displaystyle (K,\phi :R\rightarrow T)} 若使得 K { 0 } {\displaystyle K-\{0\}} 中的元素在 ϕ {\displaystyle \phi } 下的像皆可逆,且满足上述泛性质,则 K {\displaystyle K} 必与 T ( R ) {\displaystyle T(R)} 同构。

例子

推广

更多信息:局部化

对于一般的交换环 R {\displaystyle R} (容许有零因子 ),分式环是一种退而求其次的建构:我们想找使 R S 1 R {\displaystyle R\rightarrow S^{-1}R} 为单射的“最大”局部化,详述如下:

S {\displaystyle S} R {\displaystyle R} 中的非零因子所成子集,它是个积性子集,因此可对之作局部化。令 T ( R ) := S 1 R {\displaystyle T(R):=S^{-1}R} ,此时 T ( R ) {\displaystyle T(R)} 常被称作 R {\displaystyle R} 全分式环

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