提示:本条目的主题不是p进制数 3进整数相互关系图示
各种各样的数
基本

N Z Q R C {\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }

正数 R + {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}
自然数 N {\displaystyle \mathbb {N} }
正整数 Z + {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}
小数
有限小数
无限小数
循环小数
有理数 Q {\displaystyle \mathbb {Q} }
代数数 A {\displaystyle \mathbb {A} }
实数 R {\displaystyle \mathbb {R} }
复数 C {\displaystyle \mathbb {C} }
高斯整数 Z [ i ] {\displaystyle \mathbb {Z} [i]}

负数 R {\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}
整数 Z {\displaystyle \mathbb {Z} }
负整数 Z {\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}
分数
单位分数
二进分数
规矩数
无理数
超越数
虚数 I {\displaystyle \mathbb {I} }
二次无理数
艾森斯坦整数 Z [ ω ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}

延伸

二元数
四元数 H {\displaystyle \mathbb {H} }
八元数 O {\displaystyle \mathbb {O} }
十六元数 S {\displaystyle \mathbb {S} }
超实数 R {\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }
大实数
上超实数

双曲复数
双复数
复四元数
共四元数英语Dual quaternion
超复数
超数
超现实数

其他

素数 P {\displaystyle \mathbb {P} }
可计算数
基数
阿列夫数
同余
整数数列
公称值

规矩数
可定义数
序数
超限数
p进数
数学常数

圆周率 π = 3.141592653 {\displaystyle \pi =3.141592653\dots }
自然对数的底 e = 2.718281828 {\displaystyle e=2.718281828\dots }
虚数单位 i = 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}}
无穷大 {\displaystyle \infty }

p {\displaystyle p} 进数(英语:p-adic number),是数论中的概念,也称作局部数域,是有理数域拓展成的完备数域的一种。这种拓展与常见的有理数域 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 到实数域 R {\displaystyle \mathbb {R} } 、复数域 C {\displaystyle \mathbb {C} } 的数系拓展不同,其具体在于所定义的“距离”概念。 p {\displaystyle p} 进数的距离概念建立在整数的整除性质上。给定素数 p {\displaystyle p} ,若两个数之差被 p {\displaystyle p} 的高次幂整除,那么这两个数距离就“接近”,幂次越高,距离越近。这种定义在数论性质上的“距离”能够反映同余的信息,使 p {\displaystyle p} 进数理论成为了数论研究中的有力工具。例如安德鲁·怀尔斯对费马大定理的证明中就用到了 p {\displaystyle p} 进数理论。

p {\displaystyle p} 进数的概念首先由库尔特·亨泽尔于1897年构思并刻画,其发展动机主要是试图将幂级数方法引入到数论中,但现今 p {\displaystyle p} 进数的影响已远不止于此。例如可以在 p {\displaystyle p} 进数上建立 p {\displaystyle p} 进数分析,将数论和分析的工具结合起来。此外 p {\displaystyle p} 进数在量子物理学、认知科学、计算机科学等领域都有应用。

预备知识

数系的拓展

数系是人类将自然中的数量关系抽象化得到的代数系统。最早建立的数系是带有加法与乘法的自然数 N = { 0 , 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,3\cdots \}} ,其后引入了负数、分数的概念,形成了有理数 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } [1] Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 是“最小的”能够包容四则运算的代数系统,这样的系统在近世代数中称为域。

度量

数系的拓展中,自然数系到有理数系的拓展是基于代数运算的需求,而有理数系到实数系的拓展则是拓扑学的需要。这里的拓扑指的是为代数体系赋予“形状”,定义“远近”、“长短”等概念,是建立几何和分析结构的基础。一个常见的拓扑学方法是引入“距离”的概念,正式称呼为度量。最直观的定义是将两个有理数的“距离”(度量) d {\displaystyle d} 定义为两者之差的绝对值:

d ( x , y ) = | x y | . {\displaystyle d(x,y)=|x-y|.}

两个有理数之间的度量是一个非负的有理数。也即是说度量 d {\displaystyle d} 是一个从有理数域映射到非负有理数集合的二元函数: Q × Q Q + = { x Q ; x 0 } {\displaystyle \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {Q} ^{+}=\{x\in \mathbb {Q} ;\;\;x\geqslant 0\}} 。其中 Q + {\displaystyle \mathbb {Q} ^{+}} 的大小关系则是有理数域上定义的全序。这个度量基于欧几里德几何,叫做欧几里德度量或绝对值度量。

完备化

Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上装备了度量后,可以讨论极限的概念。极限描述了一个数列在下标趋于无穷时的趋势,是分析学的基础。如果一个有理数列在下标趋于无穷时,数列的项与某个数 l Q {\displaystyle l\in \mathbb {Q} } 的距离可以小于任意给定的正有理数,就称 l {\displaystyle l} 为此数列的极限。拥有极限的数列的项在下标趋于无穷时相互无限“靠近”。但反过来,这样的数列不一定拥有有理数极限。比如说以下数列:

1 2 , 2 3 , 3 5 , 5 8 , 8 13 , {\displaystyle {\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{5}},{\frac {5}{8}},{\frac {8}{13}},\cdots }

这说明有理数在表示长度和距离的时候是不完备的,存在着无法用有理数表达的长度[2]。为此需要对有理数进行扩展,称为完备化。

Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 完备化的拓扑方法由格奥尔格·康托提出。康托的方法依赖于现称为柯西数列的概念。柯西数列是一种可以用任意“小”的“圆盘”覆盖从某项起所有项的无穷数列。某个有理数数列 ( a n ) n N Q N {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {Q} ^{\mathbb {N} }} 是柯西数列,当且仅当对任意有理数 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ,都存在自然数 N ϵ N {\displaystyle N_{\epsilon }\in \mathbb {N} } ,使得对任意 n , m > N ϵ {\displaystyle n,m>N_{\epsilon }} ,都有 d ( a n , a m ) < ϵ {\displaystyle d(a_{n},a_{m})<\epsilon } 。康托承认每个这样的有理数数列都收敛到某个极限,将无理数定义为某个柯西数列的极限[2]。当然也存在收敛到有理数的柯西数列,比如常数数列。如果两个柯西数列 ( a n ) n N {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }} ( b n ) n N {\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 的差: ( a n b n ) n N {\displaystyle (a_{n}-b_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 收敛于0,就称这两个数列等价。这样可以在所有的柯西数列中建立等价关系。而康托将所有的等价类的集合定义为 R {\displaystyle \mathbb {R} } 。四则运算、绝对值度量和序关系“>”都可以从有理数域自然诱导到 R {\displaystyle \mathbb {R} } 上。最重要的是,可以证明,所有 R {\displaystyle \mathbb {R} } 中元素构成的柯西数列都收敛到 R {\displaystyle \mathbb {R} } 中。这说明 R {\displaystyle \mathbb {R} } 是一个有序完备数域[3]

实数 R {\displaystyle \mathbb {R} } 作为 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 的完备化是建立在绝对值度量上的,这种度量与日常现实中的欧几里德式的“距离”概念吻合,符合直观经验。实数也因此成为描述现实世界的有力数学工具。 p {\displaystyle p} 进数与实数的不同在于,它是将绝对值度量改为另一种非直观的度量对有理数进行完备化后得到的完备数域[4]:8:50-51

构造

分析方法

在有理数 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上引入绝对值度量,与此对应的柯西序列的等价类构成了完备数域 R {\displaystyle \mathbb {R} } p {\displaystyle p} 进数则是在 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上引入不同的度量后进行完备化得到的完备数域。

给定素数 p {\displaystyle p} 。对任意 x Q {\displaystyle x\in \mathbb {Q} } ,将其写为分数形式 x = a b {\displaystyle x={\frac {a}{b}}} ,其中 a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} 是整数, b {\displaystyle b} 不等于0。根据算术基本定理,每个整数都可以唯一分解为素因数的乘积。考察 p {\displaystyle p} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} 的素因数分解中的次数 ord p ( a ) {\displaystyle \operatorname {ord} _{p}(a)} ord p ( b ) {\displaystyle \operatorname {ord} _{p}(b)} ,定义 p {\displaystyle p} 进赋值:90:1-2

ν p ( x ) = ord p ( a ) ord p ( b ) . {\displaystyle \nu _{p}(x)=\operatorname {ord} _{p}(a)-\operatorname {ord} _{p}(b).}

同时约定 ν p ( 0 ) = + {\displaystyle \nu _{p}(0)=+\infty } 。例如 p = 5 {\displaystyle p=5} x = 63 550 {\displaystyle x={\frac {63}{550}}} ,则

ν p ( x ) = ord p ( 63 ) ord p ( 550 ) = 0 2 = 2. {\displaystyle \nu _{p}(x)=\operatorname {ord} _{p}(63)-\operatorname {ord} _{p}(550)=0-2=-2.}

在此基础上,可以定义度量映射以及其对应诱导的范数:59:2:90

d p ( x , y ) = p ν p ( x y ) , | x | p = p ν p ( x ) . {\displaystyle \operatorname {d} _{p}(x,y)=p^{-\nu _{p}(x-y)},\quad |x|_{p}=p^{-\nu _{p}(x)}.}

例如

d 5 ( 64 550 , 1 550 ) = 5 ν 5 ( 63 550 ) = 5 2 , | 63 550 | 5 = 5 ν 5 ( 63 550 ) = 5 2 . {\displaystyle \operatorname {d} _{5}({\frac {64}{550}},{\frac {1}{550}})=5^{-\nu _{5}({\frac {63}{550}})}=5^{2},\quad \left|{\frac {63}{550}}\right|_{5}=5^{-\nu _{5}({\frac {63}{550}})}=5^{2}.}

可以验证映射 d p {\displaystyle \operatorname {d} _{p}} 满足度量所需的一切性质[7]:59。因此,用与构造实数相同的手段,可以构造一个完备有序数域,记作 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} [6]:90:60-61

由奥斯特洛夫斯基定理, Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 的所有绝对值赋值或者等价于绝对值,或为平凡赋值,或等价于某素数 p {\displaystyle p} p {\displaystyle p} 进赋值。从而 Q {\displaystyle \mathbb {Q} }

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  •   关于台湾歌手,请见“伍佰”。数表 — 整数<< 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 >><< 500 510 520 530 5...
  • 数表 — 整数<< 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 >><< 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 >...
  • 安德森鸢尾花卉数据集的双标图双标图(Biplots)是一类统计学的统计图形。双标图可以同时把抽样和资料矩阵变量中的数据用图表表示出来。抽样样本可以用向量、线性轴和非线性轨迹表达。在类别变量的案例中,类别水平点(category ...
  • 英语为母语的人口分布饼图 一个饼图例子。饼图,或称饼状图,是一个划分为几个扇形的圆形统计图表,用于描述量、频率或百分比之间的相对关系。在饼图中,每个扇区的弧长(以及圆心角和面积)大小为其所表示的数量的比例。这些扇区合在一起刚好...
  • 全距(英语:range,符号R),又称极差,用来表示统计资料中的变异量数(英语:measures of variation),为最大值与最小值之间的差额,即最大值减最小值后所得数值。公式 R ...
  • 在牛顿力学里,约化质量(Reduced mass),也称作折合质量、减缩质量,是出现于二体问题的 “有效”惯性质量。这是一个量纲为质量的物理量,使二体问题能够被变换为一体问题。假设有两个物体,质量分别为 ...
  •   本文介绍的是电阻的概念和物理意义。关于实际产生电阻的电子元件,请见“电阻器”。在电磁学里,电阻是一个物体对于电流通过的阻碍能力,以方程定义为 R  ...
  • 奥斯丁·欧尔(挪威语:Øystein Ore,1899年10月7日-1968年8月13日),挪威数学家。他在图论、Galois connection和环论(如他命名的欧尔条件)等领域都有研究。他写了约120篇论文和十本书。大学时代他...
  • 在数论中,积性函数是指一个定义域为正整数n 的算术函数f(n),有如下性质:f(1) = 1,且当a 和b 互质时,f(ab) = f(a) f(b)。若一个函数f(n) 有如下性质:f(1) = 1,且对两个随意正整数a 和b 而...
  •   这是与数论相关的小作品。你可以通过编辑或修订扩充其内容。 ...
  • 蒂莫西·高尔斯威廉·蒂莫西·高尔斯爵士,KBE,FRS(英语:Sir William Timothy Gowers,1963年11月20日-),英国数学家、作家,1998年菲尔兹奖得主。教育背景高尔斯早年受教于英格兰剑桥郡的国王...
  • 物理评论快报Physical Review Letters ISO 4缩写Phys. Rev. Lett.学科物理语言英语编辑Hugues ChatéReinhardt B. SchuhmannRobert Garisto...
  • MathWorld是线上数学百科全书,由沃夫朗研究公司(Wolfram Research inc.,WRI)赞助和享有版权,大部分由埃里克·韦斯坦因创建和编写。沃夫朗研究公司即是全球闻名的数学软件Mathematica的生产商。Ma...
  • 胡道尔数(Woodall number)、第二种卡伦数或黎塞尔数(Riesel number)是形式如 n × 2 ...
  • 在数学上,局部域是一类特别的域,它有非平凡的绝对值,此绝对值赋予的拓扑是局部紧的。局部域可粗分为两类:一种的绝对值满足阿基米德性质(称作阿基米德局部域),另一种的绝对值不满足阿基米德性质(称作非阿基米德局部域)。在数论中,数域的完备...
  • 整体域是代数数论研究的主要对象,分成两类:数域:即有理数域 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 的有...
  • 图为三角形的三边AB、BC和CA,位于三角形的每两个顶点之间。图为一个正方形,它有4条边。图为一个正方体,它是多面体的一种,每个边都与多面体中的两个面相接。在几何学中,边或棱是指几何形状中连接顶点的几何结构。在一般常见的几何图形如多...
  • 在几何学中,维面(Facet)又称为超面(hyperface)是指几何形状的组成元素中,比该几何形状所在维度少一个维度的元素。也是任何多胞形的边界。而若在维面前加一个整数则代表几何形状的组成元素中,维度为该数的元素,例如在立方体中2...
  • 立方体堆砌:每一边有四个立方胞 超立方体:每一边有三个立方胞  此条目介绍的是重复结构中的一个基本单位。关于生物体结构和功能的基本单位,请见“细胞”。在几何学以及相关的晶体学和材料学中,胞是指一个重复结构中...
  • 一个有七条边的图结构。在图论中,边(edges)是图的基本单元之一,其与点共同组成了图。一般的情况下,边通常是连接两个点的图论元素,而在部分的情况下会只连接1个点(如非简单图)或连接3个或更多个点(如超图),因此边通常可以被定义...
  • 一个有七条边的图结构。在图论中,边(edges)是图的基本单元之一,其与点共同组成了图。一般的情况下,边通常是连接两个点的图论元素,而在部分的情况下会只连接1个点(如非简单图)或连接3个或更多个点(如超图),因此边通常可以被定义...
  • 哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特(Harold Scott MacDonald Coxeter)出生(1907-02-09)1907年2月9日英国,伦敦逝世2003年3月31日(2003-03-31)(96岁)加拿大,安大略省,多...
  • 一个有七条边的图结构。在图论中,边(edges)是图的基本单元之一,其与点共同组成了图。一般的情况下,边通常是连接两个点的图论元素,而在部分的情况下会只连接1个点(如非简单图)或连接3个或更多个点(如超图),因此边通常可以被定义...
  • 莫比乌斯-坎特八边形4个红色三角形和4个蓝色三角形分别代表其8条三元边类型八边形边8 3{} 顶点8施莱夫利符号3{3}3考克斯特图(英语:Coxeter diagram)对称群3[3]3(英语:Binary_t...
  • 立方体的顶点图为正三角形 三角柱的顶点图是一个等腰三角形。其中等腰三角形的底边位于三角柱的三角形面,另外两腰位于正方形面上。为了要方便表达这个顶点图的性质,我们可以使用顶点布局(英语:Vertex configuration)...
  • 立方体堆砌:每一边有四个立方胞 超立方体:每一边有三个立方胞  此条目介绍的是重复结构中的一个基本单位。关于生物体结构和功能的基本单位,请见“细胞”。在几何学以及相关的晶体学和材料学中,胞是指一个重复结构中...
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