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域扩张field extensions)是数学分支抽象代数之域论中的主要研究对象,基本想法是从一个基域开始以某种方式构造包含它的“更大”的域。域扩张可以推广为环扩张英语Ring_extension

定义

KL是两个域。如果存在从KL的域同态ι,则称(L,ι)是K的一个域扩张,记作L/KKLKL:9K称为域扩张的基域L称为K扩域:2。如果某个域F既是K的扩域,又是L子域,则称域扩张F/K是域扩张L/K子扩张,称F(域扩张L/K的)中间域

域扩张的记法L/K只是形式上的标记,不表示存在任何商环或商群等代数结构。有些文献中也会将域扩张记为L:K

另外,因为ι是域同态,所以ι是单射。由于K是域,所以ι(K)是一个L的同构于K的子域。很多时候也直接省略ι,直接将K视为L的一个子域:9。为了记叙方便,下文中将依情况使用这种省略方式。

设有域扩张L/K,给定一个由L中不属于ι(K)的元素组成的集合S,考虑L中所有同时包含ι(K)和S的子域,其中有一个“最小的”,称为“在K中添加(集合)S生成的扩域”,记作K(S)。它是所有同时包含ι(K)和S的域的子域:4-5。如果集合S只有一个元素a,则称域扩张K(S)/K单扩张,对应的扩域一般简记作K(a)。a称为这个域扩张的本原元

每个域扩张中,扩域可以看作是以基域为系数域的向量空间。设有域扩张L/K,将L中元素看作向量,K中元素看作系数,可以定义L中的域加法运算作为向量的加法运算,同时可以定义K中元素作为系数与L中元素的数乘运算。可以验证,在这样定义下,L是一个K-向量空间:9:2。它的维数称为域扩张的次数度数,一般记作[L:K]:9:2。次数为1的扩张,扩域和基域同构,称为平凡扩张。次数有限的域扩张称为有限扩张,否则称为无限扩张:9:2

例子

复数域 C {\displaystyle \mathbb {C} } 是实数域 R {\displaystyle \mathbb {R} } 的扩域,而 R {\displaystyle \mathbb {R} } 则是有理数域 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 的扩域。这样,显然 C / R {\displaystyle \mathbb {C} {\big /}\mathbb {R} } 也是一个域扩张。实数到复数的域扩张次数: [ C : R ] = 2 {\displaystyle [\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2} 。因为 C {\displaystyle \mathbb {C} } 可以看作是以 { 1 , i } {\displaystyle \{1,i\}} 为基的实向量空间。故扩张 C / R {\displaystyle \mathbb {C} {\big /}\mathbb {R} } 是有限扩张[1]:10 C = R ( i ) {\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} (i)} ,所以这个扩张是单扩张。

集合 Q ( 2 ) = { a + b 2 ; a , b , Q } {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})=\{a+b{\sqrt {2}};\;a,b,\in \mathbb {Q} \}} 是在 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 中添加 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 生成的扩域,显然也是一个单扩张。它的次数是2,因为 { 1 , 2 } {\displaystyle \{1,{\sqrt {2}}\}} 可作为一个基。 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 的有限扩张也称为代数数域,在代数数论有重要地位:2

有理数的另一个扩张域是关于一个素数pp进数域 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} 。它与 R {\displaystyle \mathbb {R} } 类似,是有理数域完备化得到的数域。但由于使用的拓扑不同,所以与 R {\displaystyle \mathbb {R} } 有着截然不同的性质。

对任何的素数p和正整数n,都存在一个元素个数为p的有限域,记作GF(pn)。它是有限域GF(p)(即 Z / p Z {\displaystyle \mathbb {Z} {\big /}p\mathbb {Z} } )的扩域。

给定域K和以K中元素为系数的K-不可约多项式PPK上的多项式环K[X]的元素。P生成的理想是极大理想,因此K[X]/P是域,而且是K的扩域。其中不定元X是多项式P的根。

给定域K,考虑所有以K中元素为系数的有理函数,即可以表示为两个以K中元素为系数的多项式PQ之比:P/Q的函数。它们构成一个域,记作K(X),是多项式环K[X]的分式域。它是域K的扩域,次数为无限大:10

基本性质

设有域扩张L/K,则扩域LK有相同的加法和乘法单位元。加法群 (K, +) 是 (L,+) 的一个子群,乘法群 (K, ·) 是 (L, ·) 的一个子群。因此,LK有相同的特征。

设有域扩张L/K及某个中间域F,则域扩张F/KL/F的次数乘积等于L/K的次数:10:9

[ L : K ] = [ L : F ] [ F : K ] . {\displaystyle [L:K]=[L:F]\cdot [F:K].}

代数元与超越元

主条目:代数扩张

给定域扩张L/K,如果L中一个元素a是某个以K中元素为系数的(非零)多项式(以下简称为K-多项式)的根,则称aK上的一个代数元,否则称其为超越元:10。如果L中每个元素都是K上的代数元,就称域扩张L/K代数扩张,否则称其为超越扩张:11。例如 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} i {\displaystyle i} 都是 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上的代数元,而eπ都是 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上的超越元[1]:11 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上的代数元和超越元分别叫做代数数与超越数。

每个有限扩张都是代数扩张,反之则不然:10-11。超越扩张必然是无限扩张。给定域扩张L/K,如果L中元素要么属于K,要么是K上的超越元,则称LK的纯超越扩张。一个单扩张如果由添加代数元生成则是有限扩张,如果由添加超越元生成则是纯超越扩张。

极小多项式

主条目:极小多项式

给定域扩张L/K,如果L中一个元素aK上的代数元,那么在所有使得f(a) = 0的首一K-多项式f中,存在一个次数最小的,称为aK上的极小多项式,记为πa:11-12。设πan次多项式,则中间域K(a)等于所有以a为不定元的K-多项式的集合。更具体地说,等于所有以a为不定元的、次数严格小于nK-多项式的集合:K(a) = K[a] = Kn-1[a]。这说明K(a)中任何元素b都可以写成 b = λ 1 + λ 2 a + + λ n a n 1 {\displaystyle b=\lambda _{1}+\lambda _{2}a+\cdots +\lambda _{n}a^{n-1}} 的形式。其中 ( λ 1 , λ 2 , , λ n ) {\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n})} nK中元素。由于πa是极小多项式,所以可推出: { 1 , a , , a n 1 } {\displaystyle \{1,a,\cdots ,a^{n-1}\}} 是中间域K(a)作为K-向量空间的基。扩张K(a)/K的次数是[K(a) : K] = n.

分裂域与代数闭包

主条目:分裂域和代数闭域

分裂域是将某个多项式的根全部添加到其系数域中生成的域扩张,将多项式转化为域扩张进行研究。给定域扩张L/K,称一个K-多项式fL分裂,如果f可以写成:

f = κ ( X α 1 ) ( X α 2 ) ( X α k ) , κ K , α 1 , α 2 , , α k L {\displaystyle f=\kappa (X-\alpha _{1})(X-\alpha _{2})\cdots (X-\alpha _{k}),\;\kappa \in K,\;\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{k}\in L}

的形式,即f的每个根都是L中的元素[2]:27-28。如果fL中分裂,但不在L的任何一个包含K的真子域中分裂(也就是说L是令f在其中分裂的“最小”的域扩张),就称LfK上的分裂域:28

给定域K,如果所有K-多项式在K分裂,则称K代数闭域:30。给定代数扩张L/K,如果L是代数闭域,则称其为K代数闭包,一般记作K:31。给定K,则它所有的代数闭包都是K-同构的:35

域扩张的自同构群

除了将扩域看作基域上的向量空间外,另一个研究域扩张的角度是考察域扩张的自同构群。给定域扩张L/KL上的一个自同构σ被称为K-自同构,当且仅当σ限制在K上的部分是平凡的(即为恒等映射):15-16

x K , σ ( x ) = x . {\displaystyle \forall x\in K,\;\sigma (x)=x.}

所有的K-自同构组成一个群,称为域扩张的自同构群,记作Aut(L/K)。这些自同构描绘了K“以外”的元素可以怎样相互变换而保持域L的域结构不变[2]:15-16

正规、可分与伽罗瓦扩张

主条目:正规扩张和伽罗瓦扩张

伽罗瓦扩张是伽罗瓦理论中的基础概念。有限的伽罗瓦扩张满足伽罗瓦理论基本定理,在此扩张的伽罗瓦群的子群与其中间域之间建立了一一对应的关系,从而给出了中间域的清晰描述。

一般定义伽罗瓦扩张是正规且可分的域扩张:42。一个域扩张L/K称为正规扩张,如果对任何一个以K中元素为系数的不可约多项式P,只要它有一个根在L中,则它的所有根都在L中,也就是说可以分解为L上一次因式的乘积:36。正规扩张也叫做准伽罗瓦扩张,它与伽罗瓦扩张的差别是伽罗瓦扩张还是可分扩张。一个代数扩张L/K称为可分扩张,如果L中每个元素在K上的极小多项式是可分的,即(在 K的一个代数闭包中)没有重根:42。从以上正规扩张和可分扩张的定义中可以推出:一个域扩张L/K是伽罗瓦扩张,当且仅当它是某个以K中元素为系数的可分多项式的分裂域:42

伽罗瓦扩

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