在抽象代数中,一个域上的代数元 α {\displaystyle \alpha } 极小多项式(或最小多项式)是满足 P ( α ) = 0 {\displaystyle P(\alpha )=0} 的最低次首一多项式(多项式内最高次项之系数为1) P {\displaystyle P} 。此概念对线性代数与代数扩张的研究极有助益。

形式定义

k {\displaystyle k} 为一个域, A {\displaystyle A} 为有限维 k {\displaystyle k} -代数。对任一元素 α A {\displaystyle \alpha \in A} ,集合 { 1 , α , α 2 , } {\displaystyle \{1,\alpha ,\alpha ^{2},\ldots \}} 张出有限维向量空间,所以存在非平凡的线性关系 :

i = 0 n c i α i = 0 ( c i k ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}c_{i}\alpha ^{i}=0\quad (c_{i}\in k)}

可以假设 c n = 1 {\displaystyle c_{n}=1} ,此时多项式 f ( X ) := i = 0 n c i X i {\displaystyle f(X):=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}} 满足 f ( α ) = 0 {\displaystyle f(\alpha )=0} 。根据多项式环里的除法,可知这类多项式中只有一个次数最小者,称之为 α {\displaystyle \alpha } 极小多项式

由此可导出极小多项式的次数等于 dim k k [ α ] {\displaystyle \dim _{k}k[\alpha ]} ,而且 α {\displaystyle \alpha } 可逆当且仅当其极小多项式之常数项非零,此时 α 1 {\displaystyle \alpha ^{-1}} 可以表成 α {\displaystyle \alpha } 的多项式。

矩阵的极小多项式

考虑所有 n × n {\displaystyle n\times n} 矩阵构成的 k {\displaystyle k} -代数 M n ( k ) {\displaystyle M_{n}(k)} ,由于 dim M n ( k ) = n 2 {\displaystyle \dim M_{n}(k)=n^{2}} ,此时可定义一个 n × n {\displaystyle n\times n} 矩阵之极小多项式,而且其次数至多为 n 2 {\displaystyle n^{2}} ;事实上,根据凯莱-哈密顿定理,可知其次数至多为 n {\displaystyle n} ,且其根属于该矩阵的特征值集。

极小多项式是矩阵分类理论(若尔当标准型、有理标准形)的关键。

极小多项式与代数扩张

k {\displaystyle k'} k {\displaystyle k} 的有限扩张,此时可视 k {\displaystyle k'} 为有限维 k {\displaystyle k} -代数。根据域的性质,极小多项式必为素多项式。元素的迹数及范数等不变量可以从极小多项式的系数读出。

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