在数学的一个分支代数中,有序域是一个偏序关系通过加法和乘法运算不被改变的域。有序域最常见的例子是实数。

定义

一个满足下面两个条件的、拥有偏序关系 {\displaystyle \leq } 的域 ( K , + , ) {\displaystyle (K,+,\cdot )} 被定义为有序域:对于任何 K {\displaystyle K} 中的元素 a , b , c {\displaystyle a,b,c} 以下两个条件获得满足:

大于0的元素被称为是正的,小于0的元素被称为是负的

特性

由以上定义可以直接推导出以下特性( a , b , c , d {\displaystyle a,b,c,d} K {\displaystyle K} 的元素):

结构

所有有序域都具有特征数0。这个结论直接出于上述的最后一个特性 0 < 1 + 1 + + 1 {\displaystyle 0<1+1+\cdots +1}

每个有序域的子域也是有序域。任何含特征数0的域其最小子域与有理数同构,且这个子域的排序与 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 一致。

假如一个有序域中的任何元素都介于两个有理数之间的话,则该域具有阿基米德性质。比如实数是具有阿基米德性质的,而超实数则不具有。

有序域 K {\displaystyle K} 的排序可用来定义 K {\displaystyle K} 的拓扑空间,这个拓扑空间可由 { x K x < a } {\displaystyle \{x\in K\mid x<a\}} { x K x > a } {\displaystyle \{x\in K\mid x>a\}} 作为准基来生成,称之为序拓扑。加法和乘法运算相对于这个拓扑空间是连续的。

例子

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