在数学中,一个拓扑空间被称为可分空间当它包含一个可数的稠密子集,也就是说,存在一个序列 { x n } n = 1 {\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }} ,使得此空间中的每个非空的开子集都有这个序列中的至少一个元素。

如可数性公理一样,可分性是一种对空间“大小”的“限制”,虽然这个限制并不一定就是对空间中元素多少的限制(然而在豪斯多夫公理成立的时候这两者是一样的)。特别地,可分空间中的每个连续函数,只要其图像是某个豪斯多夫空间的子集的话,就会被其在某个可数的稠密子集上的取值所确定。

一般来说,对于经典分析学和几何学中的空间来说,可分性是一个很有用的技术性假设,也被认为是比较弱的假设。

例子

首先,所有的由有限集或者可数集构成的空间都是可分空间。由不可数集所构成的拓扑空间中,一个可分空间的重要例子是由所有实数组成的实数集空间,因为所有的有理数在其中构成了一个可数的稠密子集。类似地,所有由向量 ( r 1 , , r n ) {\displaystyle (r_{1},\ldots ,r_{n})} 所构成的空间 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 也是可分空间,也即是说,所有的有限维欧几里德空间都是可分的。

不可分空间的一个简单例子是基数不可数的离散空间。

可分性与第二可数性

每个第二可数空间都是可分的: 如果 { U n } {\displaystyle \{U_{n}\}} 是一个可数基底,那么只要选择任意一个 x n U n {\displaystyle x_{n}\in U_{n}} 就可以得到一个可数并且稠密的子集。反过来说,一个度量空间可分当且仅当它是第二可数的或林德洛夫空间。

参考来源

点集拓扑系列
基本概念连续函数  · 同胚  · 子空间  · 积空间  · 商空间  · 序空间

邻域  · 内部  · 边界  · 外部  · 极限点  · 孤点

 · 邻域系统  · 开集  · 闭集  · 闭开集  · 稠密集  · 无处稠密集  · 闭包
拓扑空间实数线  · 离散空间  · 密着拓扑  · 余有限空间  · 下限拓扑  · 康托尔集
连通空间连通空间  · 局部连通空间  · 道路连通空间  · 单连通  · N-连通  · 不可约空间
紧空间可数紧  · 序列紧  · 聚点紧  · 局部紧
一致空间一致同构  · 一致性质  · 一致收敛  · 一致连续
可数性公理第一可数  · 第二可数  · 可分空间  · 林德勒夫空间
分离公理柯尔莫果洛夫空间  · T1空间  · 豪斯多夫空间  · 正则空间  · 吉洪诺夫空间  · 正规空间
定理
  • 波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理
  • 海涅-博雷尔定理
  • 贝尔纲定理
  • 吉洪诺夫定理
  • 乌雷松引理
  • 乌雷松度量化定理
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