开集是指不包含任何自己边界点的集合。或者说,开集包含的任意一点的充分小的邻域都包含在其自身中。

满足 x 2 + y 2 = r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}} 的点 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 着蓝色。满足 x 2 + y 2 < r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}<r^{2}} 的点 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 着红色。红色的点形成了开集。红色和蓝色的点的并集是闭集。

例如,实数线上的由不等式 2 < x < 5 {\displaystyle 2<x<5\,} 规定的集合称为开区间,是开集。这时候的边界为实数轴上的点2和5,如由不等式 2 x 5 {\displaystyle 2\leq x\leq 5} ,或者 2 < x 5 {\displaystyle 2<x\leq 5} 规定的区间由于包含其边界,因此不能称之为开集。

开集的概念一般与拓扑概念是紧密联系着的,通常先公理化开集,然后通过其定义边界的概念。(详细请参照拓扑空间)

定义

可以按不同的一般性程度来形式化开集的概念。

函数分析

Rn中点集是开集,如果在这个集合的所有点P都是内部点。

欧几里得空间

n维欧几里得空间Rn的子集U是开集,如果给定任何在U中的点x,存在一个实数ε > 0使得,如果给定任何Rn中点y,有着从x到它的欧几里得距离小于ε,则y也属于U。等价的说,U是开集,如果所有U中的点有包含在U中的邻域。

度量空间

度量空间(M,d)的子集U是开集,如果给定任何U中的点x,存在一个实数ε > 0使得,如果给定任何M中的点y,有d(x,y) < ε,则y也属于U。(等价的说,U是开集,如果所有U中的点有包含在U中的邻域。)

这推广了欧几里得空间的例子,因为带有欧几里得距离的欧几里得空间也是度量空间。

拓扑空间

在拓扑空间中,开集是基础性的概念。你可以从任意集合X出发,再选取X的某个特定的子集族T,使T中的集合都满足作为开集应有的每一性质。这样的子集族T被叫做X上的“拓扑”,而这个集合族的成员被叫做拓扑空间 (X,T)的开集。注意开集的无限交集不必为开集。若一个集合可以被构造为可数多个开集的交集,则称其为Gδ集合。

开集的拓扑定义推广了度量空间定义:如果你从一个度量空间出发并如上述般定义开集,则所有开集的集合族将形成在这个度量空间上的拓扑。因此自然地,任何度量空间都是拓扑空间。(但有不是度量空间的拓扑空间。)

性质

  1. 空集是开集(注意空集也是闭集)。
  2. 定义拓扑的集合X既开又闭。
  3. 任意个开集的并集是开集。
  4. 有限个开集的交集是开集。

例子

用处

开集在拓扑学分支中有着基础的重要性。当定义拓扑空间和其他拓扑结构(处理邻近性与收敛此类概念,比如度量空间和一致空间)时,都会用到开集的概念。

拓扑空间X的每个子集A都包含至少一个(可能为空)开集;最大的这种开集被叫做A的内部。它可以通过取包含在A中的所有开集的并集来构造。

给定拓扑空间XY,从XY的函数f是连续的,如果在Y中的所有开集的前像是在X中的开集。映射f被叫做开映射,如果在X中的所有开集的像是Y中的开集。

实直线上的开集都是可数个不相交开区间的并集。

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