提示:本条目的主题不是中值定理
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在数学分析中,介值定理(英语:intermediate value theorem,又称中间值定理)描述了连续函数在两点之间的连续性:

假设有一连续函数 f : [ a , b ] R {\displaystyle f:[a,b]\mapsto \mathbb {R} } ,且假设 f ( a ) < f ( b ) {\displaystyle f(a)<f(b)} ,若对任意数 u {\displaystyle u} 满足 f ( a ) < u < f ( b ) {\displaystyle f(a)<u<f(b)} ,则存在一点 c , a < c < b {\displaystyle c,\;a<c<b} ,使得 f ( c ) = u {\displaystyle f(c)=u} ,当 f ( a ) > f ( b ) {\displaystyle f(a)>f(b)} 时也有类似叙述。

直观地比喻,这代表在 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 区间上可以画出一个连续曲线,而不让笔离开纸面。

介值定理首先由伯纳德·波尔查诺在1817年提出和证明,在这个证明中,他附带证明了波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理。

定理

介值定理图解

假设 I = [ a , b ] {\displaystyle I=[a,b]} 是一个实数里的闭区间,而 f : I R {\displaystyle f\colon I\rightarrow \mathbb {R} } 是连续函数,那么其像集 f ( I ) {\displaystyle f(I)} 也是区间。它或者包含 [ f ( a ) , f ( b ) ] {\displaystyle [f(a),f(b)]} (如果 f ( a ) f ( b ) {\displaystyle f(a)\leq f(b)} ),或者包含 [ f ( b ) , f ( a ) ] {\displaystyle [f(b),f(a)]} (如果 f ( b ) f ( a ) {\displaystyle f(b)\leq f(a)} )。换言之:

介值定理通常以下述等价的形式表述:假设 f : I R {\displaystyle f\colon I\rightarrow \mathbb {R} } 是连续函数,且实数 u {\displaystyle u} 满足 f ( a ) < u < f ( b ) {\displaystyle f(a)<u<f(b)} f ( a ) > u > f ( b ) {\displaystyle f(a)>u>f(b)} ,则存在 c ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} 使得 f ( c ) = u {\displaystyle f(c)=u}

证明

先证明第一种情况 f ( a ) < u < f ( b ) {\displaystyle f(a)<u<f(b)} ;第二种情况也类似。

S {\displaystyle S} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 内所有 x {\displaystyle x} 的集合,使得 f ( x ) u {\displaystyle f(x)\leqslant u} 。那么 S {\displaystyle S} 是非空的,因为 a {\displaystyle a} S {\displaystyle S} 的一个元素,且 S {\displaystyle S} 是上有界的,其上界为 b {\displaystyle b} 。于是,根据实数的完备性,最小上界 c = s u p {\displaystyle c=\mathrm {sup} } S {\displaystyle S} 一定存在。我们来证明 f ( c ) = u {\displaystyle f(c)=u}

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  • 丢番图分析是数论的一个分支。最经典的丢番图逼近主要用于有理数逼近实数,亦即实数的有理逼近相关问题。其中有理数一般用分数形式表达,且一律要求分子为整数,分母为正整数,通常要求是既约分数。丢番图逼近的名称源于古希腊数学家丢番图。这是因为...
  • 立方质数是由特殊的方程生成的质数。这种方程共有两组,都包含有变数x和y的立方项。A.J.C.坎宁安(A. J. C. Cunningham)首先研究了这种方程。第一种生成立方质数的方程: p ...
  • 第n个士的数(cabtaxi number),表示为Cabtaxi(n),定义为能以n种方法写成两个或正或负或零的立方数之和的正整数中最小者。它的名字来自的士数的颠倒。对任何的n,这样的数均存在,因为的士数对所有的n都存在。现时只有...
  •   提示:本条目的主题不是容积。 体积(英语:Volume)是物件占有多少空间的量。体积的国际单位制是立方米。一件固体物件的体积是一个数值用以形容该物件在空间所占有的空间。一维空间物件(如线)及二维空间物件(如正...
  •   这是与数论相关的小作品。你可以通过编辑或修订扩充其内容。 ...
  • 六角锥数是一个有形数,代表可以装进六角锥里的物体数量,第 n {\displaystyle n} 个六角锥数等于前 n ...
  •   “千”重定向至此。关于其他意思,详见“千 (消歧义)”。数表 — 整数<< 1000 1001 1002 1003 1004 1005 1006 1007 1008 1009 >>&l...
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  •   关于台湾歌手,请见“伍佰”。数表 — 整数<< 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 >><< 500 510 520 530 5...
  • 数表 — 整数<< 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 >><< 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 >...
  • 安德森鸢尾花卉数据集的双标图双标图(Biplots)是一类统计学的统计图形。双标图可以同时把抽样和资料矩阵变量中的数据用图表表示出来。抽样样本可以用向量、线性轴和非线性轨迹表达。在类别变量的案例中,类别水平点(category ...
  • 英语为母语的人口分布饼图 一个饼图例子。饼图,或称饼状图,是一个划分为几个扇形的圆形统计图表,用于描述量、频率或百分比之间的相对关系。在饼图中,每个扇区的弧长(以及圆心角和面积)大小为其所表示的数量的比例。这些扇区合在一起刚好...
  • 全距(英语:range,符号R),又称极差,用来表示统计资料中的变异量数(英语:measures of variation),为最大值与最小值之间的差额,即最大值减最小值后所得数值。公式 R ...
  • 在牛顿力学里,约化质量(Reduced mass),也称作折合质量、减缩质量,是出现于二体问题的 “有效”惯性质量。这是一个量纲为质量的物理量,使二体问题能够被变换为一体问题。假设有两个物体,质量分别为 ...
  •   本文介绍的是电阻的概念和物理意义。关于实际产生电阻的电子元件,请见“电阻器”。在电磁学里,电阻是一个物体对于电流通过的阻碍能力,以方程定义为 R  ...
  • 奥斯丁·欧尔(挪威语:Øystein Ore,1899年10月7日-1968年8月13日),挪威数学家。他在图论、Galois connection和环论(如他命名的欧尔条件)等领域都有研究。他写了约120篇论文和十本书。大学时代他...
  • 在数论中,积性函数是指一个定义域为正整数n 的算术函数f(n),有如下性质:f(1) = 1,且当a 和b 互质时,f(ab) = f(a) f(b)。若一个函数f(n) 有如下性质:f(1) = 1,且对两个随意正整数a 和b 而...
  •   这是与数论相关的小作品。你可以通过编辑或修订扩充其内容。 ...
  • 蒂莫西·高尔斯威廉·蒂莫西·高尔斯爵士,KBE,FRS(英语:Sir William Timothy Gowers,1963年11月20日-),英国数学家、作家,1998年菲尔兹奖得主。教育背景高尔斯早年受教于英格兰剑桥郡的国王...
  • 物理评论快报Physical Review Letters ISO 4缩写Phys. Rev. Lett.学科物理语言英语编辑Hugues ChatéReinhardt B. SchuhmannRobert Garisto...
  • MathWorld是线上数学百科全书,由沃夫朗研究公司(Wolfram Research inc.,WRI)赞助和享有版权,大部分由埃里克·韦斯坦因创建和编写。沃夫朗研究公司即是全球闻名的数学软件Mathematica的生产商。Ma...
  • 胡道尔数(Woodall number)、第二种卡伦数或黎塞尔数(Riesel number)是形式如 n × 2 ...
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