各种各样的数
基本

N Z Q R C {\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }

正数 R + {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}
自然数 N {\displaystyle \mathbb {N} }
正整数 Z + {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}
小数
有限小数
无限小数
循环小数
有理数 Q {\displaystyle \mathbb {Q} }
代数数 A {\displaystyle \mathbb {A} }
实数 R {\displaystyle \mathbb {R} }
复数 C {\displaystyle \mathbb {C} }
高斯整数 Z [ i ] {\displaystyle \mathbb {Z} [i]}

负数 R {\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}
整数 Z {\displaystyle \mathbb {Z} }
负整数 Z {\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}
分数
单位分数
二进分数
规矩数
无理数
超越数
虚数 I {\displaystyle \mathbb {I} }
二次无理数
艾森斯坦整数 Z [ ω ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}

延伸

二元数
四元数 H {\displaystyle \mathbb {H} }
八元数 O {\displaystyle \mathbb {O} }
十六元数 S {\displaystyle \mathbb {S} }
超实数 R {\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }
大实数
上超实数

双曲复数
双复数
复四元数
共四元数英语Dual quaternion
超复数
超数
超现实数

其他

质数 P {\displaystyle \mathbb {P} }
可计算数
基数
阿列夫数
同余
整数数列
公称值

规矩数
可定义数
序数
超限数
p进数
数学常数

圆周率 π = 3.141592653 {\displaystyle \pi =3.141592653\dots }
自然对数的底 e = 2.718281828 {\displaystyle e=2.718281828\dots }
虚数单位 i = 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}}
无穷大 {\displaystyle \infty }

小数,是实数的一种特殊的表现形式。所有分数都可以表示成小数,小数中的圆点叫做小数点,它是一个小数的整数部分和小数部分的分界号。其中整数部分是零的小数称为纯小数,整数部分不是零的小数称为带小数

1.234
整数部分小数点 小数部分

性质

  1. 在小数的末尾添上或去掉任意个零,小数的大小不变。例如:0.4=0.400,0.060=0.06。
  2. 把小数点分别向右(或向左)移动n位,则小数的值将会扩大(或缩小)基底的n次方倍。(例如对十进制来说就是 10 n {\displaystyle 10^{n}}

分类

有限小数

小数部分后有有限个数位的小数。如3.1465,0.364,8.3218798456等,有限小数都属于有理数,可以化成分数形式。

一个最简分数可以被化作十进制的有限小数当且仅当其分母只含有质因数2或5或两者。类似的,一个最简分数可以被化作某正整数底数的有限小数当且仅当其分母之质因数为此基底质因数的子集。

无限小数

从小数部分的某一位起,一个数字或几个数字,依次不断地重复出现的小数叫做循环小数。如 1 7 = 0.142   857   142   857   142   857 {\displaystyle {\frac {1}{7}}=0.142\ 857\ 142\ 857\ 142\ 857\ldots } 11 6 = 1.833   333 {\displaystyle {\frac {11}{6}}=1.833\ 333\ldots } 等。循环小数亦属于有理数,可以化成分数形式。
小数部分有无限多个数字,且没有依次不断地重复出现的一个数字或几个数字的小数叫做无限不循环小数,如圆周率 π = 3.141   592   653   589   793   23 {\displaystyle \pi =3.141\ 592\ 653\ 589\ 793\ 23\ldots } ,自然对数的底数 e = 2.718   281   828   459   04 {\displaystyle e=2.718\ 281\ 828\ 459\ 04\ldots } 。无限不循环小数也就是无理数,不能化成分数形式。

小数与分数的转化

有限小数化分数:化为十分之几(百分之几……)后约分。

纯循环小数化分数:循环节作为分子,循环节如果有一位,分母为9;循环节有两位,分母为99;循环节有三位,分母为999,依次类推。如 0.9999... = 9 9 = 1 {\displaystyle 0.9999...={\frac {9}{9}}=1} 0.2525... = 25 99 {\displaystyle 0.2525...={\frac {25}{99}}} 0.333... = 3 9 = 1 3 {\displaystyle 0.333...={\frac {3}{9}}={\frac {1}{3}}} ,能约分的要约分。

混循环小数化分数:化为有限小数和纯循环小数之和后化简,如 0.1333333... = 0.1 + 0.0333333... = 2 15 {\displaystyle 0.1333333...=0.1+0.0333333...={\frac {2}{15}}}

无限不循环小数为无理数,不可以化为分数。

其他小数表示方式

某些场合,如在交易市场上,一般撷取到小数点后二位(姑且不论采用何种数值修約规则),由此也衍生出其他的小数表示方式。以3.14(或3,14)为例:

中文记数法

主条目:中文数字

中国未引入西方的小数点前,中文有一套小数单位表示小数[来源请求]:分、釐、毫、丝、忽、微、纤等等,各单位是前一个的十分之一。如3.1416,读作“三又一分四釐一毫六丝”或“三个一分四釐一毫六丝”。小数点自西方传入中国后,小数单位除对译十进制词头外已逐渐不用,现时分、釐仍会用于利率。

内部链接

注解

  1. ^ 常见于交易报价软件,小数部分以略小的字体书写,并画上底线;或中华邮政之邮票,例:常085总统府邮票[永久失效链接];常136浆果邮票[永久失效链接]
  2. ^ 林鹤一、淡中济著,黄元吉译,《算术-整数及小数》,万有文库第一集,民国十八年初版。
规范控制
  • NDL: 00572299
中文数字单位
大数一、十、百、千、万、亿、兆、京、垓、秭、穣、沟、涧、正、载(传统算书中的最大数)、极(某些非算学典籍记载的最大数),(以下为佛教使用的印度传入数字:恒河沙、阿僧祇、那由他、不可思议、无量大数)
小数分、厘、毫、丝、忽、微、纤、沙、尘、埃、渺、漠、(以下为佛经中出现的词,本为时间单位,部分人将其作为小数词头,部分词汇为汉语意译,部分词汇为音译:模糊、逡巡、须臾、瞬息、弹指、刹那、六德、虚空、清净、阿赖耶、阿摩罗、涅槃寂静)
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