数学上的赫维兹矩阵赫尔维茨矩阵(Hurwitz matrix)或劳斯–赫尔维茨矩阵(Routh–Hurwitz matrix),或是工程学中稳定性矩阵,都是结构化的实数方块矩阵,由实系数多项式的系数所组成。

另外,在工程学及稳定性理论中的赫维兹矩阵(Hurwitz matrix)或赫维兹稳定矩阵(Hurwitz stable matrix),是指每个特征值其实部都为负值的矩阵。

赫维兹矩阵和赫维兹稳定性准则

给定一个实系数的多项式

p ( z ) = a 0 z n + a 1 z n 1 + + a n 1 z + a n {\displaystyle p(z)=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n-1}z+a_{n}}

n × n {\displaystyle n\times n} 方块矩阵

H = ( a 1 a 3 a 5 0 0 0 a 0 a 2 a 4 0 a 1 a 3 a 0 a 2 0 0 a 1 a n a 0 a n 1 0 0 a n 2 a n a n 3 a n 1 0 0 0 0 a n 4 a n 2 a n ) . {\displaystyle H={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&\dots &\dots &\dots &0&0&0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\0&a_{1}&a_{3}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\\vdots &a_{0}&a_{2}&\ddots &&&0&\vdots &\vdots \\\vdots &0&a_{1}&&\ddots &&a_{n}&\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots &a_{0}&&&\ddots &a_{n-1}&0&\vdots \\\vdots &\vdots &0&&&&a_{n-2}&a_{n}&\vdots \\\vdots &\vdots &\vdots &&&&a_{n-3}&a_{n-1}&0\\0&0&0&\dots &\dots &\dots &a_{n-4}&a_{n-2}&a_{n}\end{pmatrix}}.}

即为对应多项式 p {\displaystyle p} 赫维兹矩阵,此多项式是阿道夫·赫维兹在1895年提出的,他提到 实系数多项式是稳定多项式(所有的根实部都为负值)当且仅当赫维兹矩阵的所有矩阵的首主序子式 H ( p ) {\displaystyle H(p)} 均为正:

Δ 1 ( p ) = | a 1 | = a 1 > 0 Δ 2 ( p ) = | a 1 a 3 a 0 a 2 | = a 2 a 1 a 0 a 3 > 0 Δ 3 ( p ) = | a 1 a 3 a 5 a 0 a 2 a 4 0 a 1 a 3 | = a 3 Δ 2 a 1 ( a 1 a 4 a 0 a 5 ) > 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{1}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}\end{vmatrix}}&&=a_{1}>0\\[2mm]\Delta _{2}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\a_{0}&a_{2}\\\end{vmatrix}}&&=a_{2}a_{1}-a_{0}a_{3}>0\\[2mm]\Delta _{3}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}\\a_{0}&a_{2}&a_{4}\\0&a_{1}&a_{3}\\\end{vmatrix}}&&=a_{3}\Delta _{2}-a_{1}(a_{1}a_{4}-a_{0}a_{5})>0\end{aligned}}}

以下省略。

子式 Δ k ( p ) {\displaystyle \Delta _{k}(p)} 称为赫维兹判别式英语Hurwitz determinant

赫维兹稳定矩阵

在工程学及稳定性理论中,方块矩阵 A {\displaystyle A} 称为稳定矩阵(stable matrix)、赫维兹矩阵(Hurwitz matrix)若矩阵 A {\displaystyle A} 的每个特征值其实部都为负值,也就是

R e [ λ i ] < 0 {\displaystyle \mathop {\mathrm {Re} } [\lambda _{i}]<0\,}

针对每个特征值 λ i {\displaystyle \lambda _{i}} 。矩阵 A {\displaystyle A} 也称为稳定性矩阵(stability matrix),因为若上述条件成立以下的常微分方程

x ˙ = A x {\displaystyle {\dot {x}}=Ax}

是渐近稳定,当 t {\displaystyle t\to \infty } 时, x ( t ) 0 {\displaystyle x(t)\to 0}

G ( s ) {\displaystyle G(s)} 是(矩阵型的)传递函数,此传递函数称为赫维兹传递函数的条件是若 G {\displaystyle G} 中所有元素的极点都有负的实部。此条件不需要 G ( s ) {\displaystyle G(s)} 在特定的 s {\displaystyle s} 下为赫维兹矩阵, G ( s ) {\displaystyle G(s)} 也不需要是方阵。

赫维兹传递函数和赫维兹矩阵的关系如下:若 A {\displaystyle A} 是赫维兹矩阵,则以下的动力系统

x ˙ ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) {\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)}
y ( t ) = C x ( t ) + D u ( t ) {\displaystyle y(t)=Cx(t)+Du(t)\,}

有赫维兹传递函数。

任何连续动力系统的双曲不动点(或平衡点)都有局部李雅普诺夫稳定性当且仅当动力系统的雅可比矩阵在不动点处是赫维兹稳定。

赫维兹稳定矩阵是控制理论中重要的内容之一。一系统稳定的条件是其控制矩阵为赫维兹稳定矩阵,矩阵特征值的负实部表示是负反馈。若其中有任何一个的实部为正,表示系统有正回馈,此系统不稳定。

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